Filtres du premier ordre (2)


Filtre passe-haut du premier ordre

Comportement asymptotique

L'impédance du condensateur vaut

Z ¯ C = 1 j C ω

Si ω 0 alors Z ¯ C (refaire le schéma en supprimant la branche contenant le condensateur) et U ¯ s 0

Si ω alors Z ¯ C 0 (refaire le schéma en remplaçant la branche contenant le condensateur par un fil) et U ¯ s U ¯ e

On peut donc déjà dire que le filtre transmet les signaux de haute fréquence et atténue ceux de basse fréquence d'où la dénomination de filtre passe-haut.

Fonction de transfert

La fonction de transfert est définie par

H ¯ j ω = U ¯ s U ¯ e

U ¯ s U ¯ e = R R + 1 j C ω = j R C ω 1 + j R C ω

H ¯ j ω = j ω ω 0 1 + j ω ω 0

en posant ω 0 = 1 R C

Diagramme de Bode - Pulsation de coupure à -3dB

Représentation de la courbe de gain

H ω = H ¯ j ω = ω ω 0 1 + ω ω 0 2

expérimentalement H ω = U s m U e m = U s U e (oscilloscope ou multimètre)

G d B = 20 log H ¯ j ω = 20 log ω ω 0 - 10 log 1 + ω ω 0 2

Si ω petit devant ω 0 alors G d B 20 log ω ω 0

Si ω grand devant ω 0 alors G d B 20 log ω ω 0 - 10 log ω ω 0 2 = 0

Les deux asymptotes se coupent pour 0 = 20 log ω ω 0 c'est à dire pour ω = ω 0 = ω c , pulsation de coupure à - 3 d B .

La bande passante de ce filtre, c'est à dire l'ensemble des pulsations qu'il laisse passer, est donc [ ω 0 , [ .

Représentation de la courbe de phase

ϕ ω = arg H ¯ j ω = arg j ω ω 0 - arg 1 + j ω ω 0 = π 2 - arctan ω ω 0

expérimentalement ϕ ω = ϕ s - ϕ e (oscilloscope)

La courbe se déduit de celle du passe-bas par une translation de π 2

Généralisation

Filtre linéaire

Un filtre est linéaire si tous les éléments qui le constituent sont linéaires, alors :
- si le signal d'entrée est sinusoïdal de pulsation ω , le signal de sortie est également sinusoïdal de même pulsation;
- les tensions d'entrée u e et de sortie u s (par exemple) sont reliées par une équation différentielle linéaire à coefficients constants :

A n d n u s d t n + ... + A 1 d u s d t + A 0 u s = B m d m u e d t m + ... + B 1 d u e d t + B 0 u e

Un filtre passif ne comporte que des éléments passifs; la puissance moyenne disponible en sortie est donc toujours inférieure ou égale à la puissance moyenne reçue en entrée.

Un filtre actif comporte en plus des sources (AO par exemple); la puissance moyenne disponible en sortie peut alors être supérieure à celle reçue en entrée.

Fonction de transfert en régime sinusoïdal

u e = U e 2 cos ω t + ϕ e

u ¯ e = U ¯ e exp j ω t

u s = U s 2 cos ω t + ϕ s

u ¯ s = U ¯ s exp j ω t

L'équation différentielle devient alors

A n j ω n u ¯ s + ... + A 1 j ω u ¯ s + A 0 u ¯ s = B m j ω m u ¯ e + ... + B 1 j ω u ¯ e + B 0 u ¯ e

ce qui permet d'exprimer le rapport

u ¯ s u ¯ e = B 0 + B 1 j ω + ... + B m j ω m A 0 + A 1 j ω + ... + A n j ω n

appelé fonction de transfert

H ¯ j ω = U ¯ s U ¯ e

Son module donne le rapport tension de sortie sur tension d'entrée

H ¯ j ω = U s m U e m = U s U e

Son argument donne la différence de phase entre la tension de sortie et la tension d'entrée

arg H ¯ j ω = ϕ s - ϕ e

La fonction de transfert n'est pas une propriété intrinsèque du filtre, elle dépend du filtre mais aussi de la charge branchée à la sortie de celui-ci.

Pour tous les systèmes réels H ω garde une valeur finie ce qui implique que m est toujours inférieur à n qui défini l'ordre du filtre.

La fonction de transfert d'un filtre s'étudie en général sur un domaine fréquentiel très étendu (de 0 jusqu'à éventuellement plusieurs MHz), il est alors très utile d'introduire des échelles log.

Le diagramme de Bode comprend la représentation :
- du gain en décibel G d B = 20 log H ¯ j ω en fonction de log ω ω 0 ou en fonction de ω ω 0 sur du papier semilog;
- de la phase ϕ = arg H ¯ j ω en fonction de log ω ω 0 ou en fonction de ω ω 0 sur du papier semilog.


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