Régime sinusoïdal forcé (1)

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Rôle générique pour l'étude des régimes périodiques forcés

On reprend l'étude du régime libre en ajoutant à l'équation différentielle un second membre sinusoïdal :

$$\stackrel{..}{x}+2\alpha \stackrel{.}{x}+{\omega }_0^{2}x=\mathrm{A\; cos}\left(\omega t\right)$$

Tout signal périodique s(t) de période $T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire de signaux sinusoïdaux (série de Fourier) :

$$s\left(t\right)={\displaystyle \frac{A_0}{2}}+\sum _{n=1}^{n=\infty }\left(A_n\cos \left(n\omega t\right)+B_n\sin \left(n\omega t\right)\right)$$

Si nous rajoutons à l'équation différentielle un second membre périodique (non sinusoïdal), connaissant la solution avec second membre sinusoïdal nous pouvons en déduire la solution avec second membre périodique.

En effet L'équation différentielle étant linéaire, la solution avec second membre périodique peut s'écrire comme une combinaison linéaire des solutions avec second membre sinusoïdal d'où le rôle générique du régime sinusoïdal forcé pour l'étude des régimes périodiques forcés.

Signaux sinusoïdaux

Amplitude, phase, pulsation et fréquence

Une grandeur sinusoïdale peut-être représentée par

$$\begin{array}{|c|}\hline x\left(t\right)=X_m\cos \left(\omega t+\varphi \right)\\ \hline\end{array}$$

$X_m$ est l'amplitude (dimension de la grandeur x)

$\omega$ est la pulsation en radian par seconde (rad/s)

$\omega t+\varphi$ est la phase à l'instant t en radian (rad)

$\varphi$ est la phase à l'origine des temps en radian (rad)

La période temporelle est la durée au bout de laquelle le signal se reproduit identique à lui-même

$$\begin{array}{|c|}\hline T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}\\ \hline\end{array}$$

en seconde (s)

La fréquence du signal est le nombre de périodes (ou cycles) par seconde

$$\begin{array}{|c|}\hline f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}\\ \hline\end{array}$$

en hertz (Hz)

Valeur moyenne et valeur efficace

On définit d'une manière générale pour un signal périodique la valeur moyenne notée $<x>$ par

$$<x\left(t\right)>={\displaystyle \frac{1}{T}}\underset{0}{\overset{T}{\int }}x\left(t\right)\hspace{0.17em}dt$$

Pour une fonction sinusoïdale

$$<x>=0$$

On définit d'une manière générale pour un signal périodique la valeur efficace notée X par

$$X^2={\displaystyle \frac{1}{T}}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{x}^2\left(t\right)\hspace{0.17em}dt$$

Pour une fonction sinusoïdale

$$X^2={\displaystyle \frac{X_m^2}{T}}{\displaystyle \frac{1}{2}}T\Rightarrow \begin{array}{|c|}\hline X={\displaystyle \frac{X_m}{\sqrt{2}}}\\ \hline\end{array}$$

Notation complexe

Toute grandeur sinusoïdale de pulsation $\omega$ peut-être mise sous la forme

$$x\left(t\right)=X_m\cos \left(\omega t+\varphi \right)$$

La représentation complexe de x(t) est la fonction complexe

$$\begin{array}{|c|}\hline \underset{¯}{x}\left(t\right)=X_m\exp j\left(\omega t+\varphi \right)={\underset{¯}{X}}_m\exp j\omega t\\ \hline\end{array}$$

avec $j^2=-1$

${\underset{¯}{X}}_m=X_m\exp j\varphi$ est l'amplitude complexe, son module est égale à l'amplitude de la grandeur x(t)

$$\begin{array}{|c|}\hline X_m=∣ {\underset{¯}{X}}_m∣ \\ \hline\end{array}$$

son argument est égale à la phase à l'origine des temps de la grandeur x(t)

$$\begin{array}{|c|}\hline \varphi =\arg \left({\underset{¯}{X}}_m\right)\\ \hline\end{array}$$

Le retour à la grandeur réelle s'effectue en prenant la partie réelle de la fonction complexe

$$x\left(t\right)=ℛe\left\{\underset{¯}{x}\left(t\right)\right\}$$

Attention $X_m\ne ℛe\left\{\underset{¯}{X_m}\right\}$

Représentation de Fresnel

La représentation de Fresnel de $x\left(t\right)=X_m\cos \left(\omega t+\varphi \right)$ est la représentation géométrique de ${\underset{¯}{X}}_m$ dans le plan complexe.