Régime sinusoïdal forcé (2)

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Etude du RLC série

Régime sinusoïdal forcé

Nous avons déjà étudié le régime libre $e\left(t\right)=0$ et la réponse à un échelon de tension $e\left(t\right)=E$.

Nous allons étudié le cas où $e\left(t\right)=E_m\cos \omega t$

$$\stackrel{..}{q}+2\alpha \stackrel{.}{q}+{\omega }_0^{2}q={\displaystyle \frac{E_m}{L}}\cos \omega t$$

La solution est la somme

$$q=q^{\left(h\right)}+q^{\left(p\right)}$$

$q^{\left(h\right)}$ correspond au régime libre qui disparaît au bout de quelques $\tau ={\displaystyle \frac{1}{2\alpha }}$

$q^{\left(p\right)}$, solution particulière, est de la forme $Q_m\cos \left(\omega t+\varphi \right)$.

En régime sinusoïdal forcé, le régime libre a disparu, on cherche donc une solution de la forme $$q\left(t\right)=Q_m\cos \left(\omega t+\varphi \right)$$ La réponse q(t) à la même pulsation que l'excitation e(t); reste à déterminer l'amplitude et le déphasage.

En reportant $q\left(t\right)$ dans l'équation différentielle, on trouve

$$-Q_m{\omega }^2\left(\cos \omega \mathrm{t\; cos}\varphi -\sin \omega \mathrm{t\; sin}\varphi \right)-2\alpha Q_m\omega \left(\sin \omega \mathrm{t\; cos}\varphi +\cos \omega \mathrm{t\; sin}\varphi \right)$$ $$+{\omega }_0^2{Q}_m\left(\cos \omega \mathrm{t\; cos}\varphi -\sin \omega \mathrm{t\; sin}\varphi \right)={\displaystyle \frac{E_m}{L}}\cos \omega t$$

En identifiant les termes en $\cos \omega t$ et les termes en $\sin \omega t$

$$\left\{\begin{array}{l}\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)Q_m\cos \varphi -2\alpha \omega \hspace{0.17em}{Q}_m\sin \varphi ={\displaystyle \frac{E_m}{L}}\\ -2\alpha \omega \hspace{0.17em}{Q}_m\cos \varphi -\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)Q_m\sin \varphi =0\end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l}\cos \varphi ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{E_m}{L}}\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}{\left[{\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}^2+4{\alpha }^2{\omega }^2\right]Q_m}}\\ \sin \varphi ={\displaystyle \frac{-2\alpha \omega {\displaystyle \frac{E_m}{L}}}{\left[{\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}^2+4{\alpha }^2{\omega }^2\right]Q_m}}\end{array}\right.$$ $$\tan \varphi ={\displaystyle \frac{-2\alpha \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}}$$ $${\cos }^2\varphi +{\sin }^2\varphi =1\Rightarrow Q_m={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{E_m}{L}}}{\sqrt{{\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}^2+4{\alpha }^2{\omega }^2}}}$$

Simplification apportée par la notation complexe

Soit $\underset{¯}{q}\left(t\right)$ la représentation complexe de $q\left(t\right)$.

L'équation différentielle étant linéaire, si $q\left(t\right)$ est solution alors $\underset{¯}{q}\left(t\right)$ est aussi solution (on remplace $\cos \omega t$ par $\exp \left(j\omega t\right)$ dans l'équation différentielle)

$$-{\omega }^2\hspace{0.17em}{\underset{¯}{Q}}_m\exp j\left(\omega t\right)+2\alpha j\omega \hspace{0.17em}{\underset{¯}{Q}}_m\exp j\left(\omega t\right)+{\omega }_0^2\hspace{0.17em}{\underset{¯}{Q}}_m\exp j\left(\omega t\right)={\displaystyle \frac{E_m}{L}}\exp \left(j\omega t\right)$$

On simplifie par $\exp \left(j\omega t\right)$

$${\underset{¯}{Q}}_m={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{E_m}{L}}}{{\omega }_0^2-{\omega }^2+j\hspace{0.17em}2\alpha \omega }}$$

et on en déduit directement l'amplitude

$$Q_m=∣ {\underset{¯}{Q}}_m∣ ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{E_m}{L}}}{\sqrt{{\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}^2+4{\alpha }^2{\omega }^2}}}$$

et le déphasage

$$\varphi =\arg \left({\underset{¯}{Q}}_m\right)=\arctan {\displaystyle \frac{-2\alpha \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}}$$

Retenons que d'une manière générale en notation complexe :
- dériver revient à multiplier par $j\omega$ (à tourner de $+\pi /2$ dans le plan complexe);
- intégrer revient à diviser par $j\omega$ (à tourner de $-\pi /2$ dans le plan complexe).

Réponse en intensité - Résonance d'intensité

$$e\left(t\right)=Ri+L{\displaystyle \frac{di}{dt}}+{\displaystyle \frac{1}{C}}\int idt$$

En régime sinusoïdal forcé ($i^{\left(h\right)}\to 0$), on cherche une solution de la forme

$$i\left(t\right)=I_m\cos \left(\omega t+\varphi \right)$$

ayant pour représentation complexe

$$\underset{¯}{i}\left(t\right)={\underset{¯}{I}}_m\exp \left(j\omega t\right)$$

avec ${\underset{¯}{I}}_m=I_m\exp \left(j\varphi \right)$

$\underset{¯}{i}\left(t\right)$ est solution de l'équation différentielle

$$E_m\exp \left(j\omega t\right)=R\underset{¯}{i}+L{\displaystyle \frac{d\underset{¯}{i}}{dt}}+{\displaystyle \frac{1}{C}}\int \underset{¯}{i}dt$$ $$E_m=\left(R+Lj\omega +{\displaystyle \frac{1}{C}}{\displaystyle \frac{1}{j\omega }}\right){\underset{¯}{I}}_m$$ $${\underset{¯}{I}}_m={\displaystyle \frac{E_m}{R+j\left(L\omega -{\displaystyle \frac{1}{C\omega }}\right)}}={\displaystyle \frac{E_m}{R}}{\displaystyle \frac{1}{1+jQ\left(x-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}}$$

avec $x={\displaystyle \frac{\omega }{{\omega }_0}}$ et $Q={\displaystyle \frac{L{\omega }_0}{R}}$

$$I_m=∣ {\underset{¯}{I}}_m∣ ={\displaystyle \frac{E_m}{R}}{\displaystyle \frac{1}{1+Q^2{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2}}$$

On observe un phénomène de résonance d'autant plus marqué que le facteur de qualité est élevé.

$$\varphi =\arg \left({\underset{¯}{I}}_m\right)=-\arctan Q\left(x-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$$

Quelque soit le facteur de qualité, il y a toujours résonance d'intensité pour $\omega ={\omega }_0$; à la résonance, l'intensité est maximale et le déphasage entre la réponse (l'intensité) et l'excitation (tension $e\left(t\right)$) est nul.

Réponse en charge - Résonance de tension aux bornes du condensateur

$$e\left(t\right)=RC{\displaystyle \frac{du}{dt}}+LC{\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{t}^2}}+u$$

En régime sinusoïdal forcé ($u^{\left(h\right)}\to 0$), on cherche une solution de la forme

$$u\left(t\right)=U_m\cos \left(\omega t+{\varphi }_u\right)$$

ayant pour représentation complexe

$$\underset{¯}{u}\left(t\right)={\underset{¯}{U}}_m\exp \left(j\omega t\right)$$

avec ${\underset{¯}{U}}_m=U_m\exp \left(j{\varphi }_u\right)$

$\underset{¯}{u}\left(t\right)$ est solution de l'équation différentielle

$$E_m\exp \left(j\omega t\right)=RC{\displaystyle \frac{d\underset{¯}{u}}{dt}}+LC{\displaystyle \frac{d^2\underset{¯}{u}}{d{t}^2}}+\underset{¯}{u}$$ $$E_m=\left(RCj\omega -LC{\omega }^2+1\right){\underset{¯}{U}}_m$$ $${\underset{¯}{U}}_m={\displaystyle \frac{E_m}{1-{\displaystyle \frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}}+jRC\omega }}={\displaystyle \frac{E_m}{1-x^2+j{\displaystyle \frac{x}{Q}}}}$$

avec $x={\displaystyle \frac{\omega }{{\omega }_0}}$ et $Q={\displaystyle \frac{1}{RC{\omega }_0}}$

$$U_m=∣ U_m∣ ={\displaystyle \frac{E_m}{\sqrt{{\left(1-x^2\right)}^2+{\displaystyle \frac{x^2}{Q^2}}}}}$$

On n'observe pas toujours un phénomène de résonance. S'il y a résonance, celle-ci est d'autant plus marquée que le facteur de qualité est élevé.

$${\varphi }_u=\arg \left({\underset{¯}{U}}_m\right)=-\arctan {\displaystyle \frac{x}{Q\left(1-x^2\right)}}$$

Si le facteur de qualité est supérieur à ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$, il y a résonance de tension aux bornes du condensateur pour une pulsation d'autant plus proche de ${\omega }_0$ que le facteur de qualité est élevé; à la résonance, la tension est maximale mais le déphasage entre la réponse (la tension aux bornes du condensateur) et l'excitation (tension $e\left(t\right)$) n'est pas nul.

Il y a résonance si $U_m$ admet un maximum ou si ${\left(1-x^2\right)}^2+{\displaystyle \frac{x^2}{Q^2}}$ admet un minimum c'est à dire si

$$2\left(1-x^2\right)\left(-2x\right)+{\displaystyle \frac{2x}{Q^2}}=0$$ $$x^2=1-{\displaystyle \frac{1}{2Q^2}}$$

On trouve ${\omega }_r={\omega }_0\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{2Q^2}}}$ à condition que $Q>{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$

$U_m$ vaut alors

$$U_m\left({\omega }_r\right)={\displaystyle \frac{Q{E}_m}{1-{\displaystyle \frac{1}{4Q^2}}}}\simeq Q{E}_m$$

Q est aussi appelé facteur de surtension.