Régime sinusoïdal forcé (2)


Etude du RLC série

Régime sinusoïdal forcé

R L C i q u e(t)

Nous avons déjà étudié le régime libre e t = 0 et la réponse à un échelon de tension e t = E .

Nous allons étudié le cas où e t = E m cos ω t

q .. + 2 α q . + ω 0 2 q = E m L cos ω t

La solution est la somme

q = q h + q p

q h correspond au régime libre qui disparaît au bout de quelques τ = 1 2 α

q p , solution particulière, est de la forme Q m cos ω t + ϕ .

En régime sinusoïdal forcé, le régime libre a disparu, on cherche donc une solution de la forme q t = Q m cos ω t + ϕ La réponse q(t) à la même pulsation que l'excitation e(t); reste à déterminer l'amplitude et le déphasage.

En reportant q t dans l'équation différentielle, on trouve

- Q m ω 2 cos ω t cos ϕ - sin ω t sin ϕ - 2 α Q m ω sin ω t cos ϕ + cos ω t sin ϕ + ω 0 2 Q m cos ω t cos ϕ - sin ω t sin ϕ = E m L cos ω t

En identifiant les termes en cos ω t et les termes en sin ω t

ω 0 2 - ω 2 Q m cos ϕ - 2 α ω Q m sin ϕ = E m L - 2 α ω Q m cos ϕ - ω 0 2 - ω 2 Q m sin ϕ = 0 cos ϕ = E m L ω 0 2 - ω 2 ω 0 2 - ω 2 2 + 4 α 2 ω 2 Q m sin ϕ = - 2 α ω E m L ω 0 2 - ω 2 2 + 4 α 2 ω 2 Q m tan ϕ = - 2 α ω ω 0 2 - ω 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 Q m = E m L ω 0 2 - ω 2 2 + 4 α 2 ω 2

Simplification apportée par la notation complexe

Soit q ¯ t la représentation complexe de q t .

L'équation différentielle étant linéaire, si q t est solution alors q ¯ t est aussi solution (on remplace cos ω t par exp j ω t dans l'équation différentielle)

- ω 2 Q ¯ m exp j ω t + 2 α j ω Q ¯ m exp j ω t + ω 0 2 Q ¯ m exp j ω t = E m L exp j ω t

On simplifie par exp j ω t

Q ¯ m = E m L ω 0 2 - ω 2 + j 2 α ω

et on en déduit directement l'amplitude

Q m = Q ¯ m = E m L ω 0 2 - ω 2 2 + 4 α 2 ω 2

et le déphasage

ϕ = arg Q ¯ m = arctan - 2 α ω ω 0 2 - ω 2

Retenons que d'une manière générale en notation complexe :
- dériver revient à multiplier par j ω (à tourner de + π / 2 dans le plan complexe);
- intégrer revient à diviser par j ω (à tourner de - π / 2 dans le plan complexe).

Réponse en intensité - Résonance d'intensité

e t = R i + L d i d t + 1 C i d t

En régime sinusoïdal forcé ( i h 0 ), on cherche une solution de la forme

i t = I m cos ω t + ϕ

ayant pour représentation complexe

i ¯ t = I ¯ m exp j ω t

avec I ¯ m = I m exp j ϕ

i ¯ t est solution de l'équation différentielle

E m exp j ω t = R i ¯ + L d i ¯ d t + 1 C i ¯ d t E m = R + L j ω + 1 C 1 j ω I ¯ m I ¯ m = E m R + j L ω - 1 C ω = E m R 1 1 + j Q x - 1 x

avec x = ω ω 0 et Q = L ω 0 R

I m = I ¯ m = E m R 1 1 + Q 2 x - 1 x 2 Q=0,2 Q=5 Q=0,5 RIm/Em 1 1 x

On observe un phénomène de résonance d'autant plus marqué que le facteur de qualité est élevé.

ϕ = arg I ¯ m = - arctan Q x - 1 x 1 x phi pi/2 -pi/2

Quelque soit le facteur de qualité, il y a toujours résonance d'intensité pour ω = ω 0 ; à la résonance, l'intensité est maximale et le déphasage entre la réponse (l'intensité) et l'excitation (tension e t ) est nul.

Réponse en charge - Résonance de tension aux bornes du condensateur

e t = R C d u d t + L C d 2 u d t 2 + u

En régime sinusoïdal forcé ( u h 0 ), on cherche une solution de la forme

u t = U m cos ω t + ϕ u

ayant pour représentation complexe

u ¯ t = U ¯ m exp j ω t

avec U ¯ m = U m exp j ϕ u

u ¯ t est solution de l'équation différentielle

E m exp j ω t = R C d u ¯ d t + L C d 2 u ¯ d t 2 + u ¯ E m = R C j ω - L C ω 2 + 1 U ¯ m U ¯ m = E m 1 - ω 2 ω 0 2 + j R C ω = E m 1 - x 2 + j x Q

avec x = ω ω 0 et Q = 1 R C ω 0

U m = U m = E m 1 - x 2 2 + x 2 Q 2 Q=5 x 1 1 Um/Em Q=0,5 Q=0,2

On n'observe pas toujours un phénomène de résonance. S'il y a résonance, celle-ci est d'autant plus marquée que le facteur de qualité est élevé.

ϕ u = arg U ¯ m = - arctan x Q 1 - x 2 phi x 1 -pi/2 -pi

Si le facteur de qualité est supérieur à 1 2 , il y a résonance de tension aux bornes du condensateur pour une pulsation d'autant plus proche de ω 0 que le facteur de qualité est élevé; à la résonance, la tension est maximale mais le déphasage entre la réponse (la tension aux bornes du condensateur) et l'excitation (tension e t ) n'est pas nul.

Il y a résonance si U m admet un maximum ou si 1 - x 2 2 + x 2 Q 2 admet un minimum c'est à dire si

2 1 - x 2 - 2 x + 2 x Q 2 = 0 x 2 = 1 - 1 2 Q 2

On trouve ω r = ω 0 1 - 1 2 Q 2 à condition que Q > 1 2

U m vaut alors

U m ω r = Q E m 1 - 1 4 Q 2 Q E m

Q est aussi appelé facteur de surtension.


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