Régime sinusoïdal forcé (3)

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Impédance

Définition

Soit un dipôle passif linéaire fonctionnant en régime sinusoïdal forcé. Si ${\underset{¯}{U}}_m$ et ${\underset{¯}{I}}_m$ désignent les amplitudes complexes associées à $u\left(t\right)$ et $i\left(t\right)$, on appelle impédance complexe du dipôle la grandeur notée $\underset{¯}{Z}$ et définie en convention récepteur par :

$$\begin{array}{|c|}\hline \underset{¯}{Z}={\displaystyle \frac{\underset{¯}{u}}{\underset{¯}{i}}}={\displaystyle \frac{{\underset{¯}{U}}_m}{{\underset{¯}{I}}_m}}\\ \hline\end{array}$$

On définie aussi l'admittance complexe :

$$\begin{array}{|c|}\hline \underset{¯}{Y}={\displaystyle \frac{1}{\underset{¯}{Z}}}\\ \hline\end{array}$$

$\underset{¯}{Z}$ contient tout ce qui caractérise le comportement du dipôle en régime sinusoïdal forcé :

$$\begin{array}{|c|}\hline ∣ \underset{¯}{Z}∣ ={\displaystyle \frac{U_m}{I_m}}={\displaystyle \frac{U}{I}}\\ \hline\end{array}$$

rapport des valeurs maximales (oscilloscope) ou rapport des valeurs efficaces (multimètre) en ohm ($\Omega$)

$$\begin{array}{|c|}\hline \arg \underset{¯}{Z}={\varphi }_u-{\varphi }_i\\ \hline\end{array}$$

déphasage de la tension par rapport à l'intensité

Dipôles R, L et C

Pour une résistance $R$ :

$$\underset{¯}{u}=R\underset{¯}{i}\to \begin{array}{|c|}\hline \underset{¯}{Z}=R\\ \hline\end{array}$$

Pour une inductance $L$ :

$$\underset{¯}{u}=L{\displaystyle \frac{d\underset{¯}{i}}{dt}}=Lj\omega \underset{¯}{i}\to \begin{array}{|c|}\hline \underset{¯}{Z}=jL\omega \\ \hline\end{array}$$

La tension est en avance de $\pi /2$ sur l'intensité.

Pour un condensateur $C$ :

$$\underset{¯}{i}=C{\displaystyle \frac{d\underset{¯}{u}}{dt}}=Cj\omega \underset{¯}{u}\to \begin{array}{|c|}\hline \underset{¯}{Z}={\displaystyle \frac{1}{jC\omega }}\\ \hline\end{array}$$

La tension est en retard de $\pi /2$ sur l'intensité.

Générateurs

Pour un générateur linéaire en régime sinusoïdal forcé :

$$\underset{¯}{u}=\underset{¯}{e}-\underset{¯}{Z}\underset{¯}{i}$$

$\underset{¯}{e}$ est la fem complexe du générateur

$\underset{¯}{Z}$ est l'impédance interne du générateur

Réseaux linéaires en régime sinusoïdal forcé

Un réseau linéaire en régime sinusoïdal forcé est un réseau constitué de dipôles passifs linéaires et de générateurs linéaires délivrant des tensions ou des courants sinusoïdaux que nous choisirons tous de même pulsation $\omega$. Tous les résultats vus sur les réseaux linéaires sont transposables à condition de raisonner sur les amplitudes complexes et d'élargir la notion de résistance à la notion d'impédance.

Exemple : diviseur de tension

$${{\underset{¯}{U}}_2}_m={\displaystyle \frac{{\underset{¯}{Z}}_2}{{\underset{¯}{Z}}_1+{\underset{¯}{Z}}_2}}{\underset{¯}{U}}_m$$

Puissance en régime sinusoïdal forcé

Puissance instantanée - Puissance moyenne - Facteur de puissance

Soit $u\left(t\right)=U_m\cos \left(\omega t\right)$ la tension aux bornes d'un dipôle linéaire quelconque orienté en convention récepteur et $i\left(t\right)=I_m\cos \left(\omega t+\varphi \right)$ l'intensité du courant le traversant.

La puissance instantanée reçue par le dipôle s'écrit

$$p\left(t\right)=u\left(t\right)i\left(t\right)=U_m{I}_m\cos \left(\omega t\right)\cos \left(\omega t+\varphi \right)={\displaystyle \frac{U_m{I}_m}{2}}\left(\cos \left(2\omega t+\varphi \right)+\cos \varphi \right)$$

La puissance moyenne

$$\begin{array}{|c|}\hline P={\displaystyle \frac{U_m{I}_m}{2}}\cos \varphi =\mathrm{UI\; cos}\varphi \\ \hline\end{array}$$

$\cos \varphi$ est le facteur de puissance

Aux bornes d'une résistance :

$$P=UI$$

Aux bornes d'une bobine ou d'un condensateur :

$$P=0$$

Notation complexe

La puissance moyenne peut s'écrire

$$P=ℛe\left\{{\displaystyle \frac{1}{2}}\underset{¯}{u}\hspace{0.17em}{\underset{¯}{i}}^{*}\right\}$$

en effet $\underset{¯}{u}\hspace{0.17em}{\underset{¯}{i}}^{*}=U_m\exp \left(j\omega t\right)I_m\exp -\left(j\omega t+\varphi \right)=U_m{I}_m\exp -j\varphi$

Posons $\underset{¯}{Z}=R+jX$ alors

$$P=ℛe\left\{{\displaystyle \frac{1}{2}}\underset{¯}{Z}\hspace{0.17em}{\underset{¯}{I}}_m\hspace{0.17em}{\underset{¯}{I}}_m^{*}\right\}$$ $$=ℛe\left\{{\displaystyle \frac{1}{2}}\underset{¯}{Z}\hspace{0.17em}{∣ {\underset{¯}{I}}_m∣ }^2\right\}={\displaystyle \frac{{∣ {\underset{¯}{I}}_m∣ }^2}{2}}ℛe\left\{\underset{¯}{Z}\right\}=R{I}^2$$