Circuits linéaires en régime transitoire (1)

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Conditions initiales et continuité

On va étudier ce qui se passe entre entre deux régimes continus : régime transitoire. Les grandeurs électriques ne sont plus constantes.
Rappelons les conventions et résultats pour la bobine et le condensateur :

$$\begin{array}{|c|}\hline u=L{\displaystyle \frac{di}{dt}}\\ \hline\end{array}$$

$L$ inductance en henry ($H$).

$$\begin{array}{|c|}\hline q=Cui={\displaystyle \frac{dq}{dt}}=C{\displaystyle \frac{du}{dt}}\\ \hline\end{array}$$

$F$ capacité en farad ($F$).

Les circuits étant linéaires, toute grandeur électrique $x\left(t\right)$ est décrite par une équation différentielle linéaire à coefficient constant.

On détermine les constantes d'intégration grâce aux conditions initiales en utilisant :

- la continuité de la tension aux bornes du condensateur
(sinon $i=C{\displaystyle \frac{du}{dt}}$ tendrait vers l'infini ce qui est physiquement impossible);

- la continuité de l'intensité du courant dans la bobine
(sinon $u=L{\displaystyle \frac{di}{dt}}$ tendrait vers l'infini ce qui est physiquement impossible).

Régime libre du circuit RC

Evolution de la tension aux bornes du condensateur

Le condensateur est initialement chargé sous une tension $E$. En régime continu, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert $U=E$ et $I=0$ ( $E/R$ dans la résistance).

A $t=0$, on ouvre l'interrupteur, le condensateur se décharge dans la résistance :

$$u=Ri=-R{\displaystyle \frac{dq}{dt}}=-RC{\displaystyle \frac{du}{dt}}$$ $${\displaystyle \frac{du}{dt}}+{\displaystyle \frac{u}{\tau }}=0\mathrm{avec}\tau =RC$$

La solution est de la forme $u\left(t\right)=\mathrm{A\; exp}\left(-t/\tau \right)$.
$u\left(0\right)=A=E$ par continuité de la tension aux bornes du condensateur. Finalement

$$\begin{array}{|c|}\hline u\left(t\right)=\mathrm{E\; exp}\left(-t/\tau \right)\\ \hline\end{array}$$

${\left({\displaystyle \frac{du}{dt}}\right)}_{t=0}=-{\displaystyle \frac{E}{\tau }}$

La tangente à l'origine d'équation $-{\displaystyle \frac{E}{\tau }}t+E$ coupe l'axe des abscisses en $t=\tau$.

D'autre part :
pour $t=\tau$, $u=\mathrm{E\; exp}\left(-1\right)=0\mathrm{,\; 37E}$
pour $t=2\tau$, $u=\mathrm{E\; exp}\left(-1\right)=0\mathrm{,\; 14E}$
pour $t=3\tau$, $u=\mathrm{E\; exp}\left(-1\right)=0\mathrm{,\; 05E}$

Evolution de l'intensité du courant

$i=-{\displaystyle \frac{dq}{dt}}=-C{\displaystyle \frac{du}{dt}}$, ce qui donne

$$\begin{array}{|c|}\hline i\left(t\right)={\displaystyle \frac{E}{R}}\exp \left(-t/\tau \right)\\ \hline\end{array}$$

Le condensateur assure la continuité de la tension à ses bornes mais pas celle de l'intensité du courant.

Etude énergétique

Calculons l'énergie reçue (on est bien en convention récepteur pour la résistance) et dissipée par effet Joule dans la résistance :

$$W=\int \mathcal{P}dt=\int \mathrm{uidt}={\displaystyle \frac{E^2}{R}}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(-2t/\tau \right)dt={\displaystyle \frac{E^2}{R}}{\left[{\displaystyle \frac{\exp \left(-2t/\tau \right)}{-2/\tau }}\right]}_0^{\infty }$$

$W={\displaystyle \frac{1}{2}}C{E}^2$ énergie emmagasinée dans le condensateur.

Régime libre du circuit RL

Evolution de l'intensité du courant

En régime continu, la bobine se comporte comme un interrupteur fermé $U=0$ et $I=E/R$.

A $t=0$, on supprime $E$ :

$$u=L{\displaystyle \frac{di}{dt}}=-Ri$$ $${\displaystyle \frac{di}{dt}}+{\displaystyle \frac{i}{\tau }}=0\mathrm{avec}\tau =L/R$$

La solution est de la forme $i\left(t\right)=\mathrm{A\; exp}\left(-t/\tau \right)$.
$i\left(0\right)=A=E/R$ par continuité de l'intensité du courant dans la bobine. Finalement :

$$\begin{array}{|c|}\hline i\left(t\right)={\displaystyle \frac{E}{R}}\exp \left(-t/\tau \right)\\ \hline\end{array}$$

Evolution de la tension aux bornes de la bobine

$u=L{\displaystyle \frac{di}{dt}}$, ce qui donne

$$\begin{array}{|c|}\hline u\left(t\right)=-\mathrm{E\; exp}\left(-t/\tau \right)\\ \hline\end{array}$$

La bobine assure la continuité de l'intensité du courant mais pas celle de la tension à ses bornes.

Etude énergétique

Calculons l'énergie reçue (on est en convention générateur pour la résistance) et dissipée par effet Joule dans la résistance :

$$W=\int \mathcal{P}dt=\int -\mathrm{uidt}={\displaystyle \frac{E^2}{R}}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(-2t/\tau \right)dt={\displaystyle \frac{E^2}{R}}{\left[{\displaystyle \frac{\exp \left(-2t/\tau \right)}{-2/\tau }}\right]}_0^{\infty }$$

$W={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{E^2}{R}}{\displaystyle \frac{L}{R}}={\displaystyle \frac{1}{2}}L{I}^2$ énergie emmagasinée dans la bobine.

Régime libre du circuit RLC série

Equation différentielle

$$\left(1\right)u=Ri+L{\displaystyle \frac{di}{dt}}$$

avec $u=q/C$ et $i=-{\displaystyle \frac{dq}{dt}}$ donne ${\displaystyle \frac{q}{C}}=-R{\displaystyle \frac{dq}{dt}}-L{\displaystyle \frac{d^{2}q}{d{t}^2}}$ soit

$$\left(2\right){\displaystyle \frac{d^{2}q}{d{t}^2}}+{\displaystyle \frac{R}{L}}{\displaystyle \frac{dq}{dt}}+{\displaystyle \frac{1}{LC}}q=0$$

Avec $q=Cu$, (2) donne

$${\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{t}^2}}+{\displaystyle \frac{R}{L}}{\displaystyle \frac{du}{dt}}+{\displaystyle \frac{1}{LC}}u=0$$

En dérivant (1) et en utilisant $u=q/C$ et $i=-{\displaystyle \frac{dq}{dt}}$, on obtient

$${\displaystyle \frac{d^{2}i}{d{t}^2}}+{\displaystyle \frac{R}{L}}{\displaystyle \frac{di}{dt}}+{\displaystyle \frac{1}{LC}}i=0$$

Différents régimes

Raisonnons sur ${\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{t}^2}}+2\alpha {\displaystyle \frac{du}{dt}}+{\omega }_0^{2}u=0$

où $2\alpha ={\displaystyle \frac{R}{L}}$, ${\omega }_0^2={\displaystyle \frac{1}{LC}}$ et $Q={\displaystyle \frac{{\omega }_0}{2\alpha }}$

On apelle régime pseudo-périodique le régime correspondant à $Q>{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$$\begin{array}{|c|}\hline u={\mathrm{e}}^{-\alpha t}\left(\mathrm{A\; cos}\left(\Omega t\right)+\mathrm{B\; sin}\left(\Omega t\right)\right)\\ \hline\end{array}$$

avec ${\Omega }^2={\omega }_0^2-{\alpha }^2$

On apelle régime apériodique le régime correspondant à $Q<{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$$\begin{array}{|c|}\hline u={\mathrm{e}}^{-\alpha t}\left(A\text{'}{\mathrm{e}}^{\Omega \text{'}t}+B\text{'}{\mathrm{e}}^{-\Omega \text{'}t}\right)\\ \hline\end{array}$$

avec $\Omega {\text{'}}^2={\alpha }^2-{\omega }_0^2$

On apelle régime critique le régime correspondant à $Q={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$$\begin{array}{|c|}\hline u={\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t}\left(A"t+B"\right)\\ \hline\end{array}$$

$Q$ s'appelle le facteur de qualité.

On détermine les constantes grâce aux conditions initiales en utilisant la continuité de la tension aux bornes du condensateur et la continuité de l'intensité du courant dans la bobine.

La pseudo-période est égale à
$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\sqrt{{\omega }_0^2-{\alpha }^2}}}={\displaystyle \frac{2\pi }{{\omega }_0\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{4Q^2}}}}}$

Etude énergétique

En multipliant (1) par $i$, on obtient

$$ui=R{i}^2+L{\displaystyle \frac{di}{dt}}i$$

comme $i=-{\displaystyle \frac{dq}{dt}}$ et $q=Cu$, on a

$$-Cu{\displaystyle \frac{du}{dt}}=R{i}^2+L{\displaystyle \frac{di}{dt}}i$$ $${\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}L{i}^2\right)=-R{i}^2$$

L'énergie emmagasinée dans le condensateur et la bobine à un instant t, $W\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}L{i}^2$, diminue au cours du temps, elle est dissipée par effet Joule dans la résistance.