Circuits linéaires en régime transitoire (2)

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Réponse d'un circuit RC à un échelon de tension

Evolution de la tension aux bornes du condensateur

Le condensateur est initialement déchargé (Régime continu $U=0$ et $I=0$).

A $t=0$, on ferme l'interrupteur et le condensateur se charge :

$$E=Ri+u=RC{\displaystyle \frac{du}{dt}}+u$$ $${\displaystyle \frac{du}{dt}}+{\displaystyle \frac{u}{\tau }}={\displaystyle \frac{E}{\tau }}\mathrm{avec}\tau =RC$$

La solution est de la forme $u\left(t\right)=u^{\left(h\right)}+u^{\left(p\right)}=\mathrm{A\; exp}\left(-t/\tau \right)+E$.
$u\left(0\right)=A+E=0$ par continuité de la tension aux bornes du condensateur. Finalement :

$$\begin{array}{|c|}\hline u\left(t\right)=E\left(1-\exp \left(-t/\tau \right)\right)\\ \hline\end{array}$$

Evolution de l'intensité du courant

$i=+{\displaystyle \frac{dq}{dt}}=C{\displaystyle \frac{du}{dt}}$ ce qui donne

$$\begin{array}{|c|}\hline {\displaystyle \frac{E}{R}}\exp \left(-t/\tau \right)\\ \hline\end{array}$$

Bilan énergétique

Multiplier $E=Ri+u$ par $i$ donne

$$Ei=R{i}^2+ui$$

où $Ei$ est la puissance fournie par le générateur ($E(-i)$ puissance reçue);
$R{i}^2$ est la puissance reçue et dissipée dans la résistance;
$ui$ est la puissance reçue et emmagasinée dans le condensateur.

$$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\mathrm{Eidt}={\displaystyle \frac{E^2}{R}}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(-t/\tau \right)dt={\displaystyle \frac{E^2}{R}}RC=C{E}^2$$ $$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}R{i}^{2}dt=R{\displaystyle \frac{E^2}{R^2}}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(-2t/\tau \right)dt=R{\displaystyle \frac{E^2}{R^2}}{\displaystyle \frac{RC}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}C{E}^2$$ $$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\mathrm{uidt}={\displaystyle \frac{E^2}{R}}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left(\exp \left(-t/\tau \right)-\exp \left(-2t/\tau \right)\right)dt={\displaystyle \frac{E^2}{R}}\left(RC-{\displaystyle \frac{RC}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}C{E}^2$$

L'énergie fournie par le générateur se répartit équitablement entre la résistance et le condensateur.

Réponse d'un circuit RL à un échelon de tension

Evolution de l'intensité du courant

Régime continu $U=0$ et $I=0$.

A $t=0$, on ferme l'interrupteur :

$$E=Ri+L{\displaystyle \frac{di}{dt}}$$ $${\displaystyle \frac{di}{dt}}+{\displaystyle \frac{i}{\tau }}={\displaystyle \frac{E}{L}}\mathrm{avec}\tau =L/R$$

La solution est de la forme $i\left(t\right)=i^{\left(h\right)}+i^{\left(p\right)}=\mathrm{A\; exp}\left(-t/\tau \right)+{\displaystyle \frac{E}{R}}$.
$i\left(0\right)=A+{\displaystyle \frac{E}{R}}=0$ par continuité de l'intensité du courant dans la bobine. Finalement :

$$\begin{array}{|c|}\hline i\left(t\right)={\displaystyle \frac{E}{R}}\left(1-\exp \left(-t/\tau \right)\right)\\ \hline\end{array}$$

Evolution de la tension aux bornes de la bobine

$u=L{\displaystyle \frac{di}{dt}}$ ce qui donne

$$\begin{array}{|c|}\hline u\left(t\right)=\mathrm{E\; exp}\left(-t/\tau \right)\\ \hline\end{array}$$

Bilan énergétique

Multiplier $E=Ri+u$ par $i$ donne

$$Ei=R{i}^2+ui$$

où $Ei$ est la puissance fournie par le générateur ($E\left(i\right)$ puissance reçue);
$R{i}^2$ est la puissance reçue et dissipée dans la résistance;
$ui$ est la puissance reçue et emmagasinée dans la bobine.

Quand $t\to \infty$ Un nouveau régime continu s'établit avec $I=E/R$ donc :

$$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\mathrm{Eidt}\to \infty$$ $$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}R{i}^{2}dt\to \infty$$ $$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\mathrm{uidt}={\displaystyle \frac{E^2}{R}}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left(\exp \left(-t/\tau \right)-\exp \left(-2t/\tau \right)\right)dt={\displaystyle \frac{E^2}{R}}\left({\displaystyle \frac{L}{R}}-{\displaystyle \frac{L}{2R}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}L{I}^2$$

Réponse d'un circuit RLC série à un échelon de tension

Tension aux bornes du condensateur

Le condensateur est initialement déchargé.

A $t=0$, on ferme l'interrupteur :
$E=L{\displaystyle \frac{di}{dt}}+Ri+u$ soit

$${\displaystyle \frac{d^{2}q}{d{t}^2}}+{\displaystyle \frac{R}{L}}{\displaystyle \frac{dq}{dt}}+{\displaystyle \frac{1}{LC}}q={\displaystyle \frac{E}{L}}$$

$u$ et $i$ vérifient la même équation.

La solution est de la forme $q\left(t\right)=q^{\left(h\right)}+q^{\left(p\right)}$.

Pour $q^{\left(h\right)}$ voir régime libre.
$q^{\left(p\right)}=CE$.

Par exemple en régime pseudo-périodique :

Bilan énergétique

Multiplier $E=L{\displaystyle \frac{di}{dt}}+Ri+u$ par $i$ donne

$$Ei=L{\displaystyle \frac{di}{dt}}i+R{i}^2+C{\displaystyle \frac{du}{dt}}u$$

où $Ei$ est la puissance fournie par le générateur ($E(-i)$ puissance reçue);
$L{\displaystyle \frac{di}{dt}}i$ est la puissance reçue et emmagasinée dans la bobine;
$R{i}^2$ est la puissance reçue et dissipée dans la résistance;
$ui$ est la puissance reçue et emmagasinée dans le condensateur.

Quand $t\to \infty$ Un nouveau régime continu s'établit avec $U=E$ et $I=0$ donc :

$$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}L{\displaystyle \frac{di}{dt}}idt={\left[{\displaystyle \frac{1}{2}}L{i}^2\right]}_0^{\infty }=0$$ $$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}C{\displaystyle \frac{du}{dt}}udt={\left[{\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}^2\right]}_0^{\infty }={\displaystyle \frac{1}{2}}C{E}^2$$

Pour les deux autres intégrales, il faut expliciter $u\left(t\right)$ et $i\left(t\right)$ :

$$u\left(t\right)={\mathrm{e}}^{-\alpha t}\left(\mathrm{A\; cos}\left(\Omega t\right)+\mathrm{B\; sin}\left(\Omega t\right)\right)+E$$

comme $i\left(t\right)=C{\displaystyle \frac{du}{dt}}$, on a

$$i\left(t\right)=C\left(-\alpha {\mathrm{e}}^{-\alpha t}\left(\mathrm{A\; cos}\left(\Omega t\right)+\mathrm{B\; sin}\left(\Omega t\right)\right)+{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\left(-A\Omega \sin \left(\Omega t\right)+B\Omega \cos \left(\Omega t\right)\right)\right)$$

$u\left(0\right)=A+E=0\Rightarrow A=-E$
$i\left(0\right)=C\left(-\alpha A+B\Omega \right)=0\Rightarrow B={\displaystyle \frac{-\alpha E}{\Omega }}$ d'où

$$i\left(t\right)=CE{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\sin \left(\Omega t\right)\left({\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{\Omega }}+\Omega \right)$$ $$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\mathrm{Eidt}=C{E}^2$$

(voir calcul MAPLE) donc en utilisant le bilan, la dernière intégrale vaut

$$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}R{i}^{2}dt={\displaystyle \frac{1}{2}}C{E}^2$$