Circuits linéaires en régime transitoire (2)


Réponse d'un circuit RC à un échelon de tension

Evolution de la tension aux bornes du condensateur

I U C E R i q u C E R

Le condensateur est initialement déchargé (Régime continu U = 0 et I = 0 ).

A t = 0 , on ferme l'interrupteur et le condensateur se charge :

E = R i + u = R C d u d t + u d u d t + u τ = E τ avec τ = R C

La solution est de la forme u t = u h + u p = A exp - t / τ + E .
u 0 = A + E = 0 par continuité de la tension aux bornes du condensateur. Finalement :

u t = E 1 - exp - t / τ u(t) E tau t

Evolution de l'intensité du courant

i = + d q d t = C d u d t ce qui donne

E R exp - t / τ i(t) E/R tau t

Bilan énergétique

Multiplier E = R i + u par i donne

E i = R i 2 + u i

E i est la puissance fournie par le générateur ( E ( - i ) puissance reçue);
R i 2 est la puissance reçue et dissipée dans la résistance;
u i est la puissance reçue et emmagasinée dans le condensateur.

0 Eidt = E 2 R 0 exp - t / τ d t = E 2 R R C = C E 2 0 R i 2 d t = R E 2 R 2 0 exp - 2 t / τ d t = R E 2 R 2 R C 2 = 1 2 C E 2 0 uidt = E 2 R 0 exp - t / τ - exp - 2 t / τ d t = E 2 R R C - R C 2 = 1 2 C E 2

L'énergie fournie par le générateur se répartit équitablement entre la résistance et le condensateur.

Réponse d'un circuit RL à un échelon de tension

Evolution de l'intensité du courant

i u L E E R I U L R

Régime continu U = 0 et I = 0 .

A t = 0 , on ferme l'interrupteur :

E = R i + L d i d t d i d t + i τ = E L avec τ = L / R

La solution est de la forme i t = i h + i p = A exp - t / τ + E R .
i 0 = A + E R = 0 par continuité de l'intensité du courant dans la bobine. Finalement :

i t = E R 1 - exp - t / τ i(t) E/R tau t

Evolution de la tension aux bornes de la bobine

u = L d i d t ce qui donne

u t = E exp - t / τ u(t) E tau t

Bilan énergétique

Multiplier E = R i + u par i donne

E i = R i 2 + u i

E i est la puissance fournie par le générateur ( E i puissance reçue);
R i 2 est la puissance reçue et dissipée dans la résistance;
u i est la puissance reçue et emmagasinée dans la bobine.

Quand t Un nouveau régime continu s'établit avec I = E / R donc :

0 Eidt 0 R i 2 d t 0 uidt = E 2 R 0 exp - t / τ - exp - 2 t / τ d t = E 2 R L R - L 2 R = 1 2 L I 2

Réponse d'un circuit RLC série à un échelon de tension

Tension aux bornes du condensateur

i q u C E L R

Le condensateur est initialement déchargé.

A t = 0 , on ferme l'interrupteur :
E = L d i d t + R i + u soit

d 2 q d t 2 + R L d q d t + 1 L C q = E L

u et i vérifient la même équation.

La solution est de la forme q t = q h + q p .

Pour q h voir régime libre.
q p = C E .

Par exemple en régime pseudo-périodique :

u(t) E t

Bilan énergétique

Multiplier E = L d i d t + R i + u par i donne

E i = L d i d t i + R i 2 + C d u d t u

E i est la puissance fournie par le générateur ( E ( - i ) puissance reçue);
L d i d t i est la puissance reçue et emmagasinée dans la bobine;
R i 2 est la puissance reçue et dissipée dans la résistance;
u i est la puissance reçue et emmagasinée dans le condensateur.

Quand t Un nouveau régime continu s'établit avec U = E et I = 0 donc :

0 L d i d t i d t = 1 2 L i 2 0 = 0 0 C d u d t u d t = 1 2 C u 2 0 = 1 2 C E 2

Pour les deux autres intégrales, il faut expliciter u t et i t :

u t = e - α t A cos Ω t + B sin Ω t + E

comme i t = C d u d t , on a

i t = C - α e - α t A cos Ω t + B sin Ω t + e - α t - A Ω sin Ω t + B Ω cos Ω t

u 0 = A + E = 0 A = - E
i 0 = C - α A + B Ω = 0 B = - α E Ω d'où

i t = C E e - α t sin Ω t α 2 Ω + Ω 0 Eidt = C E 2

(voir calcul MAPLE) donc en utilisant le bilan, la dernière intégrale vaut

0 R i 2 d t = 1 2 C E 2

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