Dynamique du point matériel (1)

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Les vecteurs sont notés en gras.

Il faut bien comprendre que la deuxième loi de Newton rappelée dans le cours d'introduction à la mécanique classique appliquée dans notre « référentiel Oxyz » considéré galiléen suffit à résoudre « tous les problèmes » analytiquement ou numériquement. Nous aurions pu en rester là.
Tout ce qui suit va faciliter la résolution (et donc souvent la compréhension) de certains problèmes.
Nous venons de voir que la description du mouvement d'un point peut-être simplifiée avec d'autres systèmes de coordonnées et d'autres bases.
Un peu dans le même état d'esprit, nous allons voir que la deuxième loi peut s'écrire autrement en faisant apparaître de nouvelles grandeurs qui peuvent s'avérer très utiles pour certains problèmes.
Enfin nous ferons l'inventaire des forces qui interviennent le plus couramment dans les problèmes.

Lois de Newton

Première loi ou principe d'inertie : dans un référentiel galiléen, un point matériel isolé à un mouvement rectiligne uniforme.

Deuxième loi ou principe fondamental de la dynamique : dans un référentiel galiléen $m\mathbf{a}=\mathbf{F}$.

Troisième loi ou principe de l'action et de la réaction : les forces d'interaction réciproque qui s'exercent entre deux points matériels sont opposées et ont pour support la droite joignant ces points.

Quantité de mouvement

Définition

La masse (inertielle) étant invariante en mécanique clasique on a :

$$m\mathbf{a}=m{\displaystyle \frac{d\mathbf{v}}{dt}}={\displaystyle \frac{d}{dt}}\left(m\mathbf{v}\right)$$

La grandeur

$$\begin{array}{|c|}\hline \mathbf{p}=m\mathbf{v}\\ \hline\end{array}$$

est appelée quantité de mouvement du point M où $m$ est la masse de M et $\mathbf{v}$ son vecteur vitesse.

Théorème de la quantité de mouvement

La deuxième peut alors s'écrire en faisant apparaître la quantité de mouvement :

$$\begin{array}{|c|}\hline {\displaystyle \frac{d\mathbf{p}}{dt}}=\mathbf{F}\\ \hline\end{array}$$

Comme la deuxième, le théorème de la quantité de mouvement s'applique dans un référentiel galiléen.

Conservation de la quantité de mouvement

Si $\mathbf{F}=0$ (point isolé ou pseudo-isolé) alors

$$\mathbf{p}=\mathbf{cte}$$

ou encore $\mathbf{v}=\mathbf{cte}$ et l'on retrouve la première loi de Newton.

Pour un système quelconque aussi complexe soit-il nous verrons que la deuxième loi peut s'écrire :

$${\displaystyle \frac{d\mathbf{P}}{dt}}=F_{ext}$$

où $\mathbf{P}=\sum _i{\mathbf{p}}_i$ est la quantité de mouvement totale du système et $F_{ext}$ la résultante des forces extérieures au système.

La conservation de la quantité de mouvement permet alors d'expliquer le recul d'un canon :
l'ensemble canon-projectile étant immobile la quantité de mouvement totale est nulle; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur l'ensemble canon-projectile étant nulle, la quantité de mouvement se conserve, elle reste nulle; donc si le projectile part d'un côté, il faut que le canon parte à l'opposé pour que la quantité de mouvement totale reste nulle.
Les avions à réaction et les fusées fonctionnent aussi sur ce principe : du gaz est éjecté d'un côté pour propulser l'avion ou la fusée de l'autre côté.

Puissance, travail et énergie cinétique

Définitions

Multiplions scalairement la deuxième loi de Newton par $\mathbf{v}$ :

$$m\mathbf{a}.\mathbf{v}=\mathbf{F}.\mathbf{v}$$

$\mathbf{a}.\mathbf{v}={\displaystyle \frac{d{v}_x}{dt}}{v}_x+{\displaystyle \frac{d{v}_y}{dt}}{v}_y+{\displaystyle \frac{d{v}_y}{dt}}{v}_y={\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{v_x^2}{2}}\right)+{\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{v_y^2}{2}}\right)+{\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{v_z^2}{2}}\right)={\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{v^2}{2}}\right)$, donc

$${\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2\right)=\mathbf{F}.\mathbf{v}$$

ou encore

$${\displaystyle d}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2\right)=\mathbf{F}.\mathbf{v}dt=\mathbf{F}\mathrm{.d}\mathbf{OM}$$ $$\begin{array}{|c|}\hline \mathcal{P}=\mathbf{F}.\mathbf{v}\\ \hline\end{array}$$

est la puissance de la résultante des forces $\mathbf{F}$ qui s'exercent sur M où $\mathbf{v}$ est la vitesse de M.

$$\begin{array}{|c|}\hline \delta W=\mathbf{F}\mathrm{.d}\mathbf{OM}=\mathbf{F}.\mathbf{v}dt=\mathcal{P}\left(t\right)dt\\ \hline\end{array}$$

est le travail élémentaire de la résultante des forces $\mathbf{F}$ qui s'exercent sur M où $d\mathbf{OM}$ est le déplacement élémentaire de M.

Le travail $W$ entre deux instants $t_1$ et $t_2$ s'écrit

$$\begin{array}{|c|}\hline W=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\mathcal{P}\left(t\right)dt=\underset{M_1}{\overset{M_2}{\int }}\mathbf{F}\mathrm{.d}\mathbf{OM}\\ \hline\end{array}$$

Enfin

$$\begin{array}{|c|}\hline E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2\\ \hline\end{array}$$

est l'énergie cinétique de M où $m$ est la masse de M et $\mathbf{v}$ sa vitesse.

Théorème de la puissance cinétique

D'après ce qui précède, on a

$$\begin{array}{|c|}\hline {\displaystyle \frac{d{E}_c}{dt}}=\mathcal{P}\\ \hline\end{array}$$

Dans un référentiel galiléen, la puissance de la résultante des forces exercées sur M est égale à la dérivée par rapport au temps de son énergie cinétique.

Théorème de l'énergie cinétique

Toujours d'après ce qui précède, on a

$$d{E}_c=\delta W$$

qui constitue la forme différentielle du théorème de l'énergie cinétique. En intégrant entre deux instants $t_1$ et $t_2$

$$\begin{array}{|c|}\hline \Delta E_c=E_c\left(t_2\right)-E_c\left(t_1\right)=W=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\mathcal{P}\left(t\right)dt=\underset{M_1}{\overset{M_2}{\int }}\mathbf{F}\mathrm{.d}\mathbf{OM}\\ \hline\end{array}$$

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique de M entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est égale au travail de la résultante des forces qui s'exercent sur M entre ces deux instants.

Attention : en général $W\ne W\left(t_2\right)-W\left(t_1\right)$.

L'énergie cinétique se conserve-t'elle ?

Si $\mathbf{F}=0$ (point isolé ou pseudo-isolé) alors $\mathcal{P}=0$ et $E_c=cte$.

Contrairement à la conservation de la quantité de mouvement qui reste valable pour les systèmes, la conservation de l'énergie cinétique n'est valable que pour le point; celle-ci est par exemple mise en défaut sur l'exemple du système canon-projectile.

Nous verrons que pour un système, le théorème de la puissance cinétique s'écrit

$${\displaystyle \frac{d{E}_c}{dt}}={\mathcal{P}}_{int}+{\mathcal{P}}_{ext}$$

où $E_c$ est l'énergie cinétique totale du système, ${\mathcal{P}}_{ext}$ la puissance des forces extérieures qui s'exercent sur le système et ${\mathcal{P}}_{int}$ la puissance des forces intérieures qui s'exercent sur le système. C'est justement la présence de ${\mathcal{P}}_{int}$ qui est à l'origine de la non conservation de l'énergie cinétique.