énergie potentielle - énergie mécanique - problèmes à un degré de liberté (1)


Les vecteurs sont notés en gras.

Travail d'une force - Exemples

Force de pesanteur

Calculons le travail de la force de pesanteur (l'axe Oz étant pris vertical ascendant) :

δ W = F .d OM = - m g d z W 12 = - m g z 2 - z 1 = m g z 1 - m g z 2 = E p 1 - E p 2

avec

E p z = m g z + c t e

L'expression de Ep dépend de l'orientation des axes !

Force de rappel élastique

Calculons le travail de la force de rappel élastique :

δ W = F .d OM = - k x d x W 12 = - k x 2 2 2 - x 1 2 2 = E p 1 - E p 2

avec

E p x = 1 2 k x 2 + c t e

Force de frottement

Calculons le travail de la force de frottement (proportionnel à la vitesse) :

δ W = F .d OM = - k v x d x

W 12 ne peut pas se mettre sous la forme E p 1 - E p 2

Energie potentielle

Force conservative...

Une force est conservative (ou encore dérive d'une énergie potentielle) s'il existe une fonction E p x y z appelée énergie potentielle telle que δ W = - d E p .

L'énergie potentielle est définie à une constante près.

Le travail ne dépend plus du chemin suivi

W = δ W = - d E p = E p 1 - E p 2 = Δ E p

en particulier δ W = 0

δ W = F .d OM est aussi appelée circulation de F

...ou force dérivant d'une énergie potentielle

d E p = - δ W = - F .d OM = - F x d x + F y d y + F z d z E p x y z d E p = E p x d x + E p y d y + E p z d z F x = - E p x F y = - E p y F z = - E p z

que l'on peut écrire de manière plus condensée F = - grad E p

Exemple : le poids est opposé au gradient de m g z

Dans le plan O x y , F dérive d'une énergie potentielle si F x y = F y x

Exemple : F = y 2 - x 2 e x + 4 x y e y ne dérive pas d'une énergie potentielle.

Energie mécanique

Définition

Séparons alors les forces conservatives et les forces non conservatives dans le théorème de l'énergie cinétique :

d E c = F c + F n c .d OM d E c = δ W c + δ W n c = - d E p + δ W n c d E c + E p = δ W n c

La grandeur E c + E p = E m est appelée énergie mécanique

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives : Δ E m = W n c ou encore dans un référentiel galiléen, la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps est égale à la puissance des forces non conservatives : d E m d t = P n c

Conservation

Si la puissance dissipée par les forces non conservatives est nulle à tout instant alors E m = c t e (équation appelée intégrale première de l'énergie).

Exemple du ressort :

E m = 1 2 m x . 2 + 1 2 k x 2 = c t e

d E m d t = 0 m x . x .. + k x x . = 0

Exemple du pendule :

E m = 1 2 m l θ . 2 + m g l 1 - cos θ = c t e

d E m d t = 0 m l 2 θ . θ .. + m g l sin θ θ . = 0

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