énergie potentielle - énergie mécanique - problèmes à un degré de liberté (1)

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Les vecteurs sont notés en gras.

Travail d'une force - Exemples

Force de pesanteur

Calculons le travail de la force de pesanteur (l'axe Oz étant pris vertical ascendant) :

$$\delta W=\mathbf{F}\mathrm{.d}\mathbf{OM}=-mg\hspace{0.17em}dz$$ $$W_{12}=-mg\left(z_2-z_1\right)=mg{z}_1-mg{z}_2=E_{p_1}-E_{p_2}$$

avec

$$\begin{array}{|c|}\hline E_p\left(z\right)=mgz+cte\\ \hline\end{array}$$

L'expression de $E_p$ dépend de l'orientation des axes !

Force de rappel élastique

Calculons le travail de la force de rappel élastique :

$$\delta W=\mathbf{F}\mathrm{.d}\mathbf{OM}=-kx\hspace{0.17em}dx$$ $$W_{12}=-k\left({\displaystyle \frac{x_2^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x_1^2}{2}}\right)=E_{p_1}-E_{p_2}$$

avec

$$\begin{array}{|c|}\hline E_p\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2+cte\\ \hline\end{array}$$

Force de frottement

Calculons le travail de la force de frottement (proportionnel à la vitesse) :

$$\delta W=\mathbf{F}\mathrm{.d}\mathbf{OM}=-k{v}_x\hspace{0.17em}dx$$

$W_{12}$ ne peut pas se mettre sous la forme $E_{p_1}-E_{p_2}$

Energie potentielle

Force conservative...

Une force est conservative (ou encore dérive d'une énergie potentielle) s'il existe une fonction $E_p\left(x,y,z\right)$ appelée énergie potentielle telle que $\delta W=-d{E}_p$.

L'énergie potentielle est définie à une constante près.

Le travail ne dépend plus du chemin suivi

$$W=\int \delta W=-\int d{E}_p=E_{p_1}-E_{p_2}=\Delta E_p$$

en particulier $\oint \delta W=0$

$\int \delta W=\int \mathbf{F}\mathrm{.d}\mathbf{OM}$ est aussi appelée circulation de $\mathbf{F}$

...ou force dérivant d'une énergie potentielle

$$d{E}_p=-\delta W=-\mathbf{F}\mathrm{.d}\mathbf{OM}=-\left(F_x\hspace{0.17em}dx+F_y\hspace{0.17em}dy+F_z\hspace{0.17em}dz\right)$$ $$E_p\left(x,y,z\right)\Rightarrow d{E}_p={\displaystyle \frac{\partial E_p}{\partial x}}\hspace{0.17em}dx+{\displaystyle \frac{\partial E_p}{\partial y}}\hspace{0.17em}dy+{\displaystyle \frac{\partial E_p}{\partial z}}\hspace{0.17em}dz$$ $$\left\{\begin{array}{l}{F}_x=-{\displaystyle \frac{\partial E_p}{\partial x}}\\ F_y=-{\displaystyle \frac{\partial E_p}{\partial y}}\\ F_z=-{\displaystyle \frac{\partial E_p}{\partial z}}\end{array}\right.$$

que l'on peut écrire de manière plus condensée $\mathbf{F}=-\mathbf{grad}\left(E_p\right)$

Exemple : le poids est opposé au gradient de $mgz$

Dans le plan $Oxy$, $\mathbf{F}$ dérive d'une énergie potentielle si ${\displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial y}}={\displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial x}}$

Exemple : $\mathbf{F}=\left(y^2-x^2\right)e_x+4xy{e}_y$ ne dérive pas d'une énergie potentielle.

Energie mécanique

Définition

Séparons alors les forces conservatives et les forces non conservatives dans le théorème de l'énergie cinétique :

$$d{E}_c=\left({\mathbf{F}}^c+{\mathbf{F}}^{nc}\right)\mathrm{.d}\mathbf{OM}$$ $$d{E}_c=\delta W^c+\delta W^{nc}=-d{E}_p+\delta W^{nc}$$ $$d\left(E_c+E_p\right)=\delta W^{nc}$$

La grandeur $E_c+E_p=E_m$ est appelée énergie mécanique

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives : $$\Delta E_m=W^{nc}$$ ou encore dans un référentiel galiléen, la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps est égale à la puissance des forces non conservatives : $${\displaystyle \frac{d{E}_m}{dt}}={\mathcal{P}}^{nc}$$

Conservation

Si la puissance dissipée par les forces non conservatives est nulle à tout instant alors $E_m=cte$ (équation appelée intégrale première de l'énergie).

Exemple du ressort :

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}m{\stackrel{.}{x}}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2=cte$

$${\displaystyle \frac{d{E}_m}{dt}}=0\Rightarrow m\stackrel{.}{x}\stackrel{..}{x}+kx\stackrel{.}{x}=0$$

Exemple du pendule :

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}m{\left(l\stackrel{.}{\theta }\right)}^2+mg\hspace{0.17em}l\left(1-\cos \theta \right)=cte$

$${\displaystyle \frac{d{E}_m}{dt}}=0\Rightarrow m{l}^2\stackrel{.}{\theta }\stackrel{..}{\theta }+mg\hspace{0.17em}\mathrm{l\; sin}\theta \stackrel{.}{\theta }=0$$