énergie potentielle - énergie mécanique - problèmes à un degré de liberté (2)

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Les vecteurs sont notés en gras.

Problème à un degré de liberté

Positions d'équilibre

Equilibre stable - Exemple du ressort

$$E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2$$

Comme $E_m=cte=E_c+E_p$ et $E_c\ge 0$, $E_m$ est la plus grande valeur que puisse prendre $E_p$. Le mouvement est donc limité par $x=-a$ et $x=+a$.

$$F_x=-{\displaystyle \frac{d{E}_p}{dx}}=-kx$$

Entre 0 et $a$, $F_x\le 0$ ramène le système en $x=0$

Entre 0 et $-a$, $F_x\ge 0$ ramène aussi le système en $x=0$

$x=0$, le minimum d'énergie potentielle, correspond à une position d'équilibre stable pour le ressort.

Equilibre instable - Exemple du pendule

$$E_p=mgl\left(1-\cos \theta \right)$$

Comme pour le ressort, $\theta =0$, le minimum d'énergie potentielle, correspond à une position d'équilibre stable pour le pendule.

Regardons maintenant ce qui se passe autour du maximum d'énergie potentielle $\theta =\pi$ :
$\delta W=F_r\hspace{0.17em}dr+F_{\theta }\hspace{0.17em}rd\theta =F_{\theta }\hspace{0.17em}ld\theta =-d{E}_p$

$$F_{\theta }=-{\displaystyle \frac{1}{l}}{\displaystyle \frac{d{E}_p}{d\theta }}=\mathrm{mg\; sin}\theta$$

Entre 0 et $\pi$, $F_{\theta }\le 0$ éloigne le système de $\theta =\pi$.

Entre $\pi$ et $2\pi$, $F_{\theta }\ge 0$ éloigne aussi le système de $\theta =\pi$.

$\theta =\pi$, le maximum d'énergie potentielle, correspond à une position d'équilibre instable pour le pendule.

Généralisation

Un minimum d'énergie potentielle $x_1$ correspond à une position d'équilibre stable :

$$\begin{array}{|c|}\hline {\left({\displaystyle \frac{d{E}_p}{dx}}\right)}_{x_1}=0\mathrm{et}{\left({\displaystyle \frac{d^2{E}_p}{d{x}^2}}\right)}_{x_1}>0\\ \hline\end{array}$$

Un maximum d'énergie potentielle $x_2$ correspond à une position d'équilibre instable :

$$\begin{array}{|c|}\hline {\left({\displaystyle \frac{d{E}_p}{dx}}\right)}_{x_2}=0\mathrm{et}{\left({\displaystyle \frac{d^2{E}_p}{d{x}^2}}\right)}_{x_2}<0\\ \hline\end{array}$$

Si $E_m<E_p\left(x_1\right)$, le système peut s'échapper vers les $x>0$, on a un état de diffusion.

Si $E_p\left(x_1\right)<E_m<E_p\left(x_2\right)$, le système est confiné entre $x_a$ et $x_b$, on a un état lié.

Si $E_m>E_p\left(x_2\right)$, on a encore un état de diffusion.

Petits mouvements au voisinage d'une position d'équilibre stable

Exemple du pendule

$$E_p=mgl\left(1-\cos \theta \right)$$

Au voisinage de $\theta =0$, $\cos \theta \simeq 1-{\displaystyle \frac{{\theta }^2}{2}}$

$$E_p\simeq mgl{\displaystyle \frac{{\theta }^2}{2}}$$

$E_m=cte={\displaystyle \frac{1}{2}}m{\left(l\stackrel{.}{\theta }\right)}^2+mgl{\displaystyle \frac{{\theta }^2}{2}}\Rightarrow 0=m{l}^2\stackrel{.}{\theta }\stackrel{..}{\theta }+mg\hspace{0.17em}l\theta \stackrel{.}{\theta }$

$$\stackrel{..}{\theta }+{\displaystyle \frac{g}{l}}\theta =0$$

Généralisation

Une fonction $f\left(x\right)$ peut être développée autour de $x_0$ selon

$$f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\displaystyle \frac{{\left(x-x_0\right)}^n}{n!}}{f}^{\left(n\right)}\left(x_0\right)$$

(Développement en série de Taylor)

Exemple : $f\left(x\right)=\cos x$ autour de $x=0$

$$\cos x=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^4}{24}}+\mathrm{...}$$

Développons $E_p\left(x\right)$ autour d'une position d'équilibre $x=x_e$

$$\begin{array}{rcl}{E}_p\left(x\right)& =& E_p\left(x_e\right)+\left(x-x_e\right){\left({\displaystyle \frac{d{E}_p}{dx}}\right)}_{x_e}+{\displaystyle \frac{{\left(x-x_e\right)}^2}{2}}{\left({\displaystyle \frac{d^2{E}_p}{d{x}^2}}\right)}_{x_e}+\mathrm{...}\\ & =& E_p\left(x_e\right)+0+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{\left(x-x_e\right)}^2+\mathrm{...}\end{array}$$

en posant $k={\left({\displaystyle \frac{d^2{E}_p}{d{x}^2}}\right)}_{x_e}$

L'énergie mécanique se conservant

$$E_m=cte={\displaystyle \frac{1}{2}}m{\stackrel{.}{x}}^2+E_p\left(x_e\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{\left(x-x_e\right)}^2\Rightarrow m\stackrel{..}{x}+k\left(x-x_e\right)=0$$

ou encore en posant $X=x-x_e$

$$m\stackrel{..}{X}+kX=0$$

Si $k>0$, on retrouve l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique, le système oscille autour de la position d'équilibre qui est donc stable

.

Si $k<0$, $X=\mathrm{A\; cosh}\left(\omega t+\varphi \right)$, le système s'éloigne de la position d'équilibre qui est donc instable.

Portrait de phase

Déterminisme mécanique - Etat d'un système

Pour un problème à un degré de liberté $x$, la deuxième loi de Newton donne

$$m{\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}=F\left(x,{\displaystyle \frac{dx}{dt}},t\right)$$

équation différentielle du deuxième ordre équivalent à

$$\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}=v\\ {\displaystyle \frac{dv}{dt}}=F\left(x,v,t\right)\end{array}\right.$$

système de deux équations différentielles d'ordre un. Ce système admet une solution unique si $x\left(0\right)$ et $v\left(0\right)$ sont donnés.

Les systèmes mécaniques ont une évolution unique pour des conditions initiales déterminées (principe du déterminisme mécanique).

L'état d'un système à un degré de liberté est représenté à tout instant, par un point $P\left(t\right)$ de coordonnées ($x$ ,$v$ ) dans un plan appelé plan de phase :

Quand le temps s'écoule, le point $P\left(t\right)$ décrit une courbe appelée trajectoire de phase. Toute trajectoire de phase débute en $P\left(0\right)$ de coordonnées ($x\left(0\right)$ ,$v\left(0\right)$).

Le portrait de phase d'un système est l'ensemble des trajectoires de phase du sys obtenues en considérant l'ensemble des conditions initiales réalisables.

Lecture et interprétation

Exemple : l' oscillateur harmonique

$$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}k{a}^2$$ $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{v^2}{a^2{\omega }_0^2}}=1$$

c'est l'équation d'une ellipse.

Si la trajectoire est fermée, le mouvement est périodique; si la trajectoire est en plus elliptique, le mouvement est sinusoïdal; une bosse (vitesse maximale) sur la trajectoire de phase correspond à une position d'équilibre stable; un creux (vitesse minimale) correspond à une position d'équilibre instable.