énergie potentielle - énergie mécanique - problèmes à un degré de liberté (2)


Les vecteurs sont notés en gras.

Problème à un degré de liberté

Positions d'équilibre

Equilibre stable - Exemple du ressort

E p = 1 2 k x 2

Comme E m = c t e = E c + E p et E c 0 , E m est la plus grande valeur que puisse prendre E p . Le mouvement est donc limité par x = - a et x = + a .

F x = - d E p d x = - k x

Entre 0 et a , F x 0 ramène le système en x = 0

Entre 0 et - a , F x 0 ramène aussi le système en x = 0

x = 0 , le minimum d'énergie potentielle, correspond à une position d'équilibre stable pour le ressort.

Equilibre instable - Exemple du pendule

E p = m g l 1 - cos θ

Comme pour le ressort, θ = 0 , le minimum d'énergie potentielle, correspond à une position d'équilibre stable pour le pendule.

Regardons maintenant ce qui se passe autour du maximum d'énergie potentielle θ = π :
δ W = F r d r + F θ r d θ = F θ l d θ = - d E p

F θ = - 1 l d E p d θ = mg sin θ

Entre 0 et π , F θ 0 éloigne le système de θ = π .

Entre π et 2 π , F θ 0 éloigne aussi le système de θ = π .

θ = π , le maximum d'énergie potentielle, correspond à une position d'équilibre instable pour le pendule.

Généralisation

Un minimum d'énergie potentielle x 1 correspond à une position d'équilibre stable :

d E p d x x 1 = 0 et d 2 E p d x 2 x 1 > 0

Un maximum d'énergie potentielle x 2 correspond à une position d'équilibre instable :

d E p d x x 2 = 0 et d 2 E p d x 2 x 2 < 0

Si E m < E p x 1 , le système peut s'échapper vers les x > 0 , on a un état de diffusion.

Si E p x 1 < E m < E p x 2 , le système est confiné entre x a et x b , on a un état lié.

Si E m > E p x 2 , on a encore un état de diffusion.

Petits mouvements au voisinage d'une position d'équilibre stable

Exemple du pendule

E p = m g l 1 - cos θ

Au voisinage de θ = 0 , cos θ 1 - θ 2 2

E p m g l θ 2 2

E m = c t e = 1 2 m l θ . 2 + m g l θ 2 2 0 = m l 2 θ . θ .. + m g l θ θ .

θ .. + g l θ = 0

Généralisation

Une fonction f x peut être développée autour de x 0 selon

f x = f x 0 + n = 1 x - x 0 n n ! f n x 0

(Développement en série de Taylor)

Exemple : f x = cos x autour de x = 0

cos x = 1 - x 2 2 + x 4 24 + ...

Développons E p x autour d'une position d'équilibre x = x e

E p x = E p x e + x - x e d E p d x x e + x - x e 2 2 d 2 E p d x 2 x e + ... = E p x e + 0 + 1 2 k x - x e 2 + ...

en posant k = d 2 E p d x 2 x e

L'énergie mécanique se conservant

E m = c t e = 1 2 m x . 2 + E p x e + 1 2 k x - x e 2 m x .. + k x - x e = 0

ou encore en posant X = x - x e

m X .. + k X = 0

Si k > 0 , on retrouve l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique, le système oscille autour de la position d'équilibre qui est donc stable

.

Si k < 0 , X = A cosh ω t + ϕ , le système s'éloigne de la position d'équilibre qui est donc instable.

Portrait de phase

Déterminisme mécanique - Etat d'un système

Pour un problème à un degré de liberté x , la deuxième loi de Newton donne

m d 2 x d t 2 = F x , d x d t , t

équation différentielle du deuxième ordre équivalent à

d x d t = v d v d t = F x v t

système de deux équations différentielles d'ordre un. Ce système admet une solution unique si x 0 et v 0 sont donnés.

Les systèmes mécaniques ont une évolution unique pour des conditions initiales déterminées (principe du déterminisme mécanique).

L'état d'un système à un degré de liberté est représenté à tout instant, par un point P t de coordonnées ( x , v ) dans un plan appelé plan de phase :

Quand le temps s'écoule, le point P t décrit une courbe appelée trajectoire de phase. Toute trajectoire de phase débute en P 0 de coordonnées ( x 0 , v 0 ).

Le portrait de phase d'un système est l'ensemble des trajectoires de phase du sys obtenues en considérant l'ensemble des conditions initiales réalisables.

Lecture et interprétation

Exemple : l' oscillateur harmonique

E m = 1 2 m v 2 + 1 2 k x 2 = 1 2 k a 2 x 2 a 2 + v 2 a 2 ω 0 2 = 1

c'est l'équation d'une ellipse.

Si la trajectoire est fermée, le mouvement est périodique; si la trajectoire est en plus elliptique, le mouvement est sinusoïdal; une bosse (vitesse maximale) sur la trajectoire de phase correspond à une position d'équilibre stable; un creux (vitesse minimale) correspond à une position d'équilibre instable.


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