énergie potentielle - Oscillateur harmonique - Régime libre


Les vecteurs sont notés en gras.

Oscillateur harmonique

On appelle oscillateur harmonique tout système à un degré de liberté dont l'évolution au cours du temps (en l'absence d'amortissement et d'excitation) est régi par l'équation différentielle suivante : d 2 x d t 2 + ω 0 2 x = 0 quelle que soit la nature physique de la variable x .

L'oscillateur harmonique évolue dans un puit de potentiel de type parabolique :

soit

E p x = E p 0 + 1 2 k x 2

soit

E p x E p 0 + 1 2 k x 2

au voisinage d'une position d'équilibre stable (voir cours précédent).

L'oscillateur harmonique est soumis à une force de rappel proportionnelle à x :

F = - d E p d x = - k x

Oscillations libres

Pulsation propre - Isochronisme des oscillations

x t = x m cos ω 0 t + ϕ x . t = - x m ω 0 sin ω 0 t + ϕ = v t

x m et ϕ sont déterminés par les conditions initiales.
Si x 0 = 0 et v 0 = v 0 alors

x m = x 0 2 + v 0 ω 0 2 tan ϕ = - v 0 ω 0 x 0

La période T = 2 π ω 0 est indépendante des conditions initiales; c'est une propriété importante de l'oscillateur harmonique appelée isochronisme des oscillations.

Etude énergétique

E m = E c + E p = 1 2 m x m 2 ω 0 2 sin 2 ω 0 t + ϕ + 1 2 k x m 2 cos 2 ω 0 t + ϕ = 1 2 k x m 2

Calculons la valeur moyenne de E p

E p = 1 T 0 T E p t d t = k x m 2 2 cos 2 ω 0 t + ϕ = k x m 2 4

de même

E c = k x m 2 4

Pendant le mouvement, il y a équipartition, en moyenne, des formes cinétique et potentielle de l'énergie. E p = E c = E m 2

Oscillations libres amorties

Temps de relaxation - Facteur de qualité

Avec amortissement, l'équation différentielle devient

m x .. = - k x - h x .

que l'on met sous la forme

x .. + 2 α x . + ω 0 2 x = 0

avec 2 α = h m et ω 0 2 = k m , ou encore

x .. + x . τ + ω 0 2 x = 0

τ est une constante ayant la dimension d'un temps qui est appelée temps de relaxation de l'oscillateur, ω 0 étant sa pulsation propre.

Pour décrire l'oscillateur amorti, on peut préférer au couple ( ω 0 , τ ) le couple ( ω 0 , Q ), Q étant un paramètre sans dimension appelé facteur de qualité défini par

Q = ω 0 τ = 2 π τ T 0 = ω 0 2 α = m ω 0 h

Une solution en exp r t existe si

r 2 + 2 α r + ω 0 2 = 0

Suivant le signe du discriminant réduit, plusieurs régimes sont possibles

Δ ' = α 2 - ω 0 2

Régime pseudo-périodique

Si les frottements sont faibles alors α < ω 0 , Q > 1 2 et Δ ' < 0

x t = e - α t A cos Ω t + B sin Ω t

en introduisant la pseudo-pulsation Ω telle que Ω 2 = ω 0 2 - α 2 ( Δ ' = - Ω 2 = i Ω 2 et r = - α ± i Ω )

x . = - α e - α t A cos Ω t + B sin Ω t + e - α t Ω - A sin Ω t + B cos Ω t x 0 = A = x 0 x . 0 = - α A + Ω B = v 0 x t = e - α t x 0 cos Ω t + v 0 + α x 0 Ω sin Ω t

Une telle évolution de retour vers un état permanent est qualifiée de relaxation; ce retour se fait au bout de quelques τ .

T = 2 π Ω = T 0 1 - α ω 0 2 = T 0 1 - 1 4 Q 2 est la pseudo-période.

La détermination expérimentale de δ = ln x t x t + T appelé décrément logarithmique permet de calculer le facteur de qualité

δ = α T = ω 0 T 2 Q = π Q 2 - 1 4

Régime apériodique

Si les frottements sont importants alors α > ω 0 , Q < 1 2 et Δ ' > 0

x t = e - α t A cosh Ω ' t + B sin Ω ' t

avec Ω ' 2 = α 2 - ω 0 2 ( r = - α ± Ω ' )

x . = - α e - α t A cosh Ω ' t + B sin Ω ' t + e - α t Ω ' A sin Ω ' t + B cosh Ω ' t x 0 = A = x 0 x . 0 = - α A + Ω ' B = v 0 x t = e - α t x 0 cosh Ω ' t + v 0 + α x 0 Ω ' sin Ω ' t

Régime critique

Si α = ω 0 , Q = 1 2 et Δ ' = 0

x t = e - α t A t + B

( r = - α )

x . = - α e - α t A t + B + e - α t A x 0 = B = x 0 x . 0 = - α B + A = v 0 x t = e - α t v 0 + α x 0 t + x 0

Le régime critique n'est jamais réalisé physiquement exactement.

Etude énergétique

d E m d t = P n c = - h v 2 < 0

accueil > matières > mécanique > Oscillateur harmonique - Régime libre