Repérage d'un point - Vitesse et accélération (1)

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Les vecteurs sont notés en gras.

Espace et temps - Référentiel d'observation

D'une manière générale, repérer un point, paramétrer un point, nous servira tout au long du cours de Physique.
Plus particulièrement en Mécanique, repérer un point va nous permettre de calculer vitesse et accélération et de décrire les mouvements.

Dans ce cours nous ne nous préoccuperons pas encore des causes du mouvement (forces) et nous décrirons les mouvements par rapport à un référentiel d'observation, repère $\left(O,{\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z\right)$ + horloge, qui nous permettra, comme nous l'avons rappelé dans le chapitre précédent, de répondre aux questions où ? (espace) et quand ? (temps).

En mécanique classique, le temps est le même pour tous les observateurs, l'unité de temps, la seconde, étant défini comme 9 192 634 770 périodes de la radiation électromagnétique correspondant à la transition entre 2 niveaux hyperfins de l'état fondamental du césium 133.

En revanche pour répondre à la question où ? il existe différents systèmes de coordonnées...

Coordonnées cartésiennes

Repérage d'un point - Vecteur position

Pour repérer un point, on utilise un repère.

Un repère, c'est une origine O et une base $\left(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\right)$ en général orthonormée et droite.

$\left(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\right)$ est une base si $\forall$ $\mathbf{V}$, $\exists$ $\left(\alpha ,\beta ,\gamma \right)$ réels tel que $\mathbf{V}=\alpha \mathbf{u}+\beta \mathbf{v}+\gamma \mathbf{w}$

$\left(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\right)$ est orthonormée si

$$\mathbf{u}.\mathbf{v}=\mathbf{u}.\mathbf{w}=\mathbf{v}.\mathbf{w}=0$$ $$∥ \mathbf{u}∥ =∥ \mathbf{v}∥ =∥ \mathbf{w}∥ =1$$ $$\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}=\mathbf{w}\circlearrowright$$

Soit la base cartésienne $\left({\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z\right)$

$x={\overline{OH}}_x$, $y={\overline{OH}}_y$ et $z=\overline{OI}$, coordonnées cartésiennes de M, définissent de façon unique la position de M extrémité du vecteur position

$$\begin{array}{|c|}\hline \mathbf{OM}=x{\mathbf{e}}_x+y{\mathbf{e}}_y+z{\mathbf{e}}_z\\ \hline\end{array}$$

Remarque : si l'on représente 2 des 3 vecteurs de la base dans un plan, pour déterminer si le troisième est rentrant ou sortant, on utilise la règle des 3 doigts de la main droite ou la règle du tire bouchon.

Lorsque M se déplace, $x$, $y$ et $z$ varient (peuvent varier de $-\infty$ à $+\infty$); $x$, $y$ et $z$ sont des fonctions du temps et on devrait écrire $x\left(t\right)$, $y\left(t\right)$ et $z\left(t\right)$.

Vecteur vitesse et vecteur accélération

Lorsque M se déplace, $H_x$ se déplace; on peut associer à $H_x$ une vitesse $v_x$ :

vitesse moyenne $={\displaystyle \frac{\mathrm{distance}}{\mathrm{temps}}}={\displaystyle \frac{x\left(t_2\right)-x\left(t_1\right)}{t_2-t_1}}={\displaystyle \frac{x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}{t+\Delta t-t}}={\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta t}}$

vitesse instantanée

$$v_x=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta t}}={\displaystyle \frac{dx}{dt}}$$

en $m.s^{-1}$ où $dx=x\left(t+dt\right)-x\left(t\right)=v_{x}dt$ est la variation élémentaire de $x$ quand $t$ varie de $dt\to 0$

${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$ n'est pas seulement une écriture voulant dire je dérive la fonction $x\left(t\right)$ par rapport au temps $t$, c'est bien un rapport ${\displaystyle \frac{x\left(t+dt\right)-x\left(t\right)}{t+dt-t}}$

De même $v_y={\displaystyle \frac{dy}{dt}}$ est la vitesse de $H_y$ et $v_z={\displaystyle \frac{dz}{dt}}$ est la vitesse de $I$.

$v_x$ , $v_y$ et $v_z$ définissent le vecteur vitesse :

$$\begin{array}{|c|}\hline \mathbf{v}=v_x{\mathbf{e}}_x+v_y{\mathbf{e}}_y+v_z{\mathbf{e}}_z\\ \hline\end{array}$$

On utilise aussi la notation ${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=\stackrel{.}{x}$ :

$$\begin{array}{|c|}\hline \mathbf{v}=\stackrel{.}{x}{\mathbf{e}}_x+\stackrel{.}{y}{\mathbf{e}}_y+\stackrel{.}{z}{\mathbf{e}}_z\\ \hline\end{array}$$ $$\mathbf{v}={\displaystyle \frac{dx}{dt}}{\mathbf{e}}_x+{\displaystyle \frac{dy}{dt}}{\mathbf{e}}_y+{\displaystyle \frac{dz}{dt}}{\mathbf{e}}_z={\displaystyle \frac{d}{dt}}\left(x{\mathbf{e}}_x\right)+{\displaystyle \frac{d}{dt}}\left(y{\mathbf{e}}_y\right)+{\displaystyle \frac{d}{dt}}\left(z{\mathbf{e}}_z\right)$$ $$={\displaystyle \frac{d}{dt}}\left(x{\mathbf{e}}_x+y{\mathbf{e}}_y+z{\mathbf{e}}_z\right)$$ $$\begin{array}{|c|}\hline \mathbf{v}={\displaystyle \frac{d\mathbf{OM}}{dt}}\\ \hline\end{array}$$

Encore une fois ${\displaystyle \frac{d\mathbf{OM}}{dt}}$ est bien un rapport :

$$\begin{array}{|c|}\hline d\mathbf{OM}=\mathbf{v}dt=dx{\mathbf{e}}_x+dy{\mathbf{e}}_y+dy{\mathbf{e}}_z\\ \hline\end{array}$$

est le vecteur déplacement élémentaire (pendant $dt$ , $H_x$ se déplace de $dx$ , $H_y$ de $dy$ et $I$ de $dz$).

On peut aussi associer à $H_x$ une accélération $a_x={\displaystyle \frac{d{v}_x}{dt}}={\displaystyle \frac{d^{2}x}{dt}}=\stackrel{..}{x}$ en $m.s^{-2}$ et construire le vecteur accélération :

$$\begin{array}{|c|}\hline \mathbf{a}=a_x{\mathbf{e}}_x+a_y{\mathbf{e}}_y+a_z{\mathbf{e}}_z=\stackrel{..}{x}{\mathbf{e}}_x+\stackrel{..}{y}{\mathbf{e}}_y+\stackrel{..}{z}{\mathbf{e}}_z\\ \hline\end{array}$$