Repérage d'un point - Vitesse et accélération (2)


Les vecteurs sont notés en gras.

Coordonnées curvilignes - Base de Frénet

Repérage d'un point - Abscisse curviligne

On repère le point sur sa trajectoire (courbe orientée) par son abscisse curviligne :

s = S M

e T et e N forment la base de Frénet.

e T est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté selon le sens positif; e N s'obtient en tournant de π / 2 vers l'intérieur de la concavité.

Vecteur vitesse et vecteur accélération

v = v e T avec v = d s d t a = d v d t e T + v 2 R c e N

a T = d v d t est la composante tangentielle de l'accélération.

a N = v 2 R c est la composante normale de l'accélération.

Pourquoi a v . e T ?

Quand on dérive (par rapport au temps), il faut toujours faire le point sur ce qui dépend du temps.

v t mais aussi e T t !

Donc a = d v d t e T + v d e T d t ; en identifiant v 2 R c e N = v d e T d t ou encore

e N = R c v d e T d t

Coordonnées polaires et cylindriques

Repérage d'un point - Vecteur position

De la même manière que x = O H ¯ x , y = O H ¯ y et z = O I ¯ définissaient de façon unique la position de M, les coordonnées cylindriques
r = OH = O H > 0 ,
θ = e x , OH de 0 à 2 π et
z = O I ¯ de - à +
définissent aussi de façon unique la position de M.
Si le mouvement est plan, on utilise les coordonnées polaires r θ .

r = c t e défini un cylindre de rayon r (un cercle en coordonnées polaires).

θ = c t e défini un demi plan perpendiculaire au plan e x e y (une demi droite en coordonnées polaires).

z = c t e défini un plan parallèle au plan e x e y .

e r , e θ et e z forment la base cylindrique ( e r et e θ la base polaire) :
e r = OH O H ,
e θ s'obtient en tournant de π / 2 dans le sens des θ croissant,
e z est le troisième vecteur de la base cartésienne.

Le vecteur position s'écrit dans la base cylindrique

OM = r e r + z e z

et dans la base polaire

OM = r e r

Relations entre paramétrage cylindrique ou polaire et paramétrage cartésien

r = x 2 + y 2 x = r cos θ
tan θ = y x y = r sin θ
e r = cos θ e x + sin θ e y e x = cos θ e r - sin θ e θ
e θ = - sin θ e x + cos θ e y e y = sin θ e r + cos θ e θ

On remarque en particulier que e θ = d e r d θ ou encore

d e r d t = d e r d θ d θ d t = θ . e θ

On pourra vérifier que

d e θ d t = - θ . e r

On peut retenir la règle suivante : θ . × vecteur obtenu par une rotation de π / 2 dans le sens des θ croissant.

Vecteur vitesse et vecteur accélération

r , θ , z , mais aussi e r et e θ dépendent du temps.

v = d OM d t = r . e r + r d e r d t + z . e z

v = r . e r + r θ . e θ + z . e z

v = r . e r + r θ . e θ en polaire.

Calculons le vecteur accélération :
a = d v d t = r .. e r + r . d e r d t + r . θ . + r θ .. e θ + r θ . d e θ d t + z .. e z

a = r .. - r θ . 2 e r + 2 r . θ . + r θ .. e θ + z .. e z

a r = r .. - r θ . 2 est la composante radiale de l'accélération.
a θ = 2 r . θ . + r θ .. est la composante orthoradiale de l'accélération.
a z = z .. est la composante axiale.

Calculons le vecteur déplacement élémentaire :

d OM = v d t = d r e r + r d θ e θ + d z e z

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