Lentilles minces sphériques

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Définition

Une lentille mince est constituée de deux dioptres sphériques qui vérifient :

$$e=S_1{S}_2\ll C_1{S}_1$$ $$e\ll C_2{S}_2$$ $$e\ll C_1{C}_2$$

alors $S_1\simeq S_2\simeq O$ centre de la lentille

Lentille mince convergente ou divergente

Lentille mince convergente (bords minces) :

Lentille mince divergente (bords épais) :

Stigmatisme approché dans les conditions de Gauss - Vergence

Les lentilles minces sphériques ne donnent d'un point A une unique image A' que dans certaines conditions appelées conditions de Gauss :

Les rayons lumineux sont proches de l'axe et peu inclinés par rapport à l'axe.

Dans ces conditions, la relation de conjugaison donne la position de l'image (resp. objet) connaissant la position de l'objet (resp. image) :

$$\begin{array}{|c|}\hline {\displaystyle \frac{1}{\overline{OA\text{'}}}}-{\displaystyle \frac{1}{\overline{OA}}}=V\\ \hline\end{array}$$

où V est la vergence. La vergence est positive pour une lentille mince convergente et négative pour une lentille mince divergente.

On parle alors de stigmatisme approché

$$A\underset{}{\overset{\mathrm{lentille}\mathrm{mince}\mathrm{sphérique}}{\to }}A\text{'}$$

On dit que A' est le conjugué de A ou encore que A et A' sont conjugués. Tous les rayons issus de A convergent en A'.

Points particuliers - Distance focale

Les rayons passant par le centre O ne sont pas déviés (on peut considérer qu'au voisinage de O, on a une lame à faces parallèles).

Le foyer image est le conjugué d'un point objet à l'infini sur l'axe

$$A_{\infty }\underset{}{\overset{\mathrm{lentille}\mathrm{mince}}{\to }}F\text{'}$$ $$\begin{array}{|c|}\hline \overline{OF\text{'}}={\displaystyle \frac{1}{V}}=f\text{'}\\ \hline\end{array}$$

où f' est la distance focale image

Le foyer objet est le conjugué d'un point image à l'infini sur l'axe

$$F\underset{}{\overset{\mathrm{lentille}\mathrm{mince}}{\to }}A{\text{'}}_{\infty }$$ $$\begin{array}{|c|}\hline \overline{OF}=-{\displaystyle \frac{1}{V}}=f\\ \hline\end{array}$$

où f est la distance focale objet

Pour la lentille mince sphérique, les foyers objet et image sont symétriques par rapport au centre O de la lentille.

Aplanétisme approché dans les conditions de Gauss - Plans focaux

Les lentilles minces sphériques ne donnent d'un objet perpendiculaire à l'axe une image perpendiculaire à l'axe que dans les conditions de Gauss; on parle alors d'aplanétisme approché.

Le conjugué de $B_{\infty }$ est dans le plan perpendiculaire à l'axe passant par F' appelé plan focal image.

De même, Le conjugué de $B{\text{'}}_{\infty }$ est dans le plan perpendiculaire à l'axe passant par F appelé plan focal objet.

Pour la lentille mince sphérique, les plans focal objet et image sont symétriques par rapport au centre O de la lentille.

Modélisation de la lentille mince sphérique et constructions géométriques

Modélisation

Cette modélisation concerne la lentille mince sphérique utilisée dans les conditions de Gauss.

On dilate les schémas perpendiculairement à l'axe optique :

Lentille mince convergente :

Lentille mince divergente :

Construction de l'image A' d'un point A sur l'axe

On prend, dans le plan perpendiculaire à l'axe et passant par A, un point B en dehors de l'axe; l'image d'un point étant un point (stigmatisme), il suffit de deux rayons pour trouver B' à choisir parmi les 3 rayons remarquables suivants :

• le rayon parallèle à l'axe (issu d'un point à l'infini sur l'axe) et passant par B est transmis en passant par F';
• le rayon passant par B et par F est transmis parallèlement à l'axe ("convergeant" vers un point à l'infini sur l'axe);
• le rayon passant par B et par O n'est pas dévié.

Construction d'un rayon réfléchi

On fait comme si le rayon parvenait d'un point à l'infini en dehors de l'axe; le rayon parallèle passant par O (provenant aussi de $B_{\infty }$ ) coupe le plan focal en B' conjugué de $B_{\infty }$; tous les rayons issus de $B_{\infty }$ convergent en B' après transmission (stigmatisme), le rayon est donc transmis en passant par B' :

Relations de conjugaison et grandissement

Relation de conjugaison avec origine au centre ou encore formule de Descartes :

$$\begin{array}{|c|}\hline {\displaystyle \frac{1}{\overline{OA\text{'}}}}-{\displaystyle \frac{1}{\overline{OA}}}={\displaystyle \frac{1}{\overline{OF\text{'}}}}\\ \hline\end{array}$$

Relation de conjugaison avec origine aux foyers ou encore formule de Newton

$$\begin{array}{|c|}\hline \overline{FA}\hspace{0.17em}.\hspace{0.17em}\overline{FA\text{'}}=\overline{OF}\hspace{0.17em}.\hspace{0.17em}\overline{OF\text{'}}=-{\displaystyle {f\text{'}}^2}\\ \hline\end{array}$$

Grandissement :

$$\begin{array}{|c|}\hline \gamma ={\displaystyle \frac{\overline{A\text{'}B\text{'}}}{\overline{AB}}}={\displaystyle \frac{\overline{OA\text{'}}}{\overline{OA}}}=-{\displaystyle \frac{\overline{OF}}{\overline{FA}}}=-{\displaystyle \frac{\overline{F\text{'}A\text{'}}}{\overline{OF\text{'}}}}\\ \hline\end{array}$$