Miroirs sphériques

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Miroir concave(convergent) ou convexe(divergent)

pour un miroir concave ou encore convergent on a ${\displaystyle \overline{SC}<0}$

pour un miroir convexe ou encore divergent on a ${\displaystyle \overline{SC}>0}$

Stigmatisme approché dans les conditions de Gauss - Relation de conjugaison

Les miroirs sphériques ne donnent d'un point A une unique image A' que dans certaines conditions appelées conditions de Gauss :

Les rayons lumineux sont proches de l'axe et peu inclinés par rapport à l'axe.

Dans ces conditions, la relation de conjugaison donne la position de l'image (resp. objet) connaissant la position de l'objet (resp. image) :

$$\begin{array}{|c|}\hline {\displaystyle \frac{1}{\overline{SA}}}+{\displaystyle \frac{1}{\overline{SA\text{'}}}}={\displaystyle \frac{2}{\overline{SC}}}\\ \hline\end{array}$$

On parle alors de stigmatisme approché

$$A\underset{}{\overset{\mathrm{miroir}\mathrm{sphérique}}{\to }}A\text{'}$$

On dit que A' est le conjugué de A ou encore que A et A' sont conjugués. Tous les rayons issus de A convergent en A'.

Points particuliers - Distance focale - Vergence

C est son propre conjugué

$$C\underset{}{\overset{\mathrm{miroir}\mathrm{sphérique}}{\to }}C$$

Le foyer image est le conjugué d'un point objet à l'infini sur l'axe

$$A_{\infty }\underset{}{\overset{\mathrm{miroir}\mathrm{sphérique}}{\to }}F\text{'}$$ $$\begin{array}{|c|}\hline \overline{\mathrm{SF\text{'}}}={\displaystyle \frac{\overline{SC}}{2}}=f\text{'}={\displaystyle \frac{1}{V}}\\ \hline\end{array}$$

où f' est la distance focale image et V la vergence

Le foyer objet est le conjugué d'un point image à l'infini sur l'axe

$$F\underset{}{\overset{\mathrm{miroir}\mathrm{sphérique}}{\to }}A{\text{'}}_{\infty }$$ $$\begin{array}{|c|}\hline \overline{SF}={\displaystyle \frac{\overline{SC}}{2}}=f\\ \hline\end{array}$$

où f est la distance focale objet

Pour le miroir sphérique, les foyers objet et image sont confondus au milieu de SC.

Aplanétisme approché dans les conditions de Gauss - Plan focal

Les miroirs sphériques ne donnent d'un objet perpendiculaire à l'axe une image perpendiculaire à l'axe que dans les conditions de Gauss; on parle alors d'aplanétisme approché.

Le conjugué de $B_{\infty }$ est dans le plan perpendiculaire à l'axe passant par F' appelé plan focal image.

De même, Le conjugué de $B{\text{'}}_{\infty }$ est dans le plan perpendiculaire à l'axe passant par F appelé plan focal objet.

Pour le miroir sphérique, les plans focal objet et image sont confondus.

Modélisation du miroir sphérique et constructions géométriques

Modélisation

Cette modélisation concerne le miroir sphérique utilisé dans les conditions de Gauss.

On dilate les schémas perpendiculairement à l'axe optique :

miroir concave :

miroir convexe :

Construction de l'image A' d'un point A sur l'axe

On prend, dans le plan perpendiculaire à l'axe et passant par A, un point B en dehors de l'axe; l'image d'un point étant un point (stigmatisme), il suffit de deux rayons pour trouver B' à choisir parmi les 3 rayons remarquables suivants :

• le rayon parallèle à l'axe (issu d'un point à l'infini sur l'axe) et passant par B est réfléchi en passant par F';
• le rayon passant par B et par F est réfléchi parallèlement à l'axe ("convergeant" vers un point à l'infini sur l'axe);
• le rayon passant par B et par C est réfléchi en repassant par C.

Construction d'un rayon réfléchi

On fait comme si le rayon parvenait d'un point à l'infini en dehors de l'axe; le rayon parallèle passant par C (provenant aussi de $B_{\infty }$ ) coupe le plan focal en B' conjugué de $B_{\infty }$; tous les rayons issus de $B_{\infty }$ convergent en B' après réflexion (stigmatisme), le rayon est donc réfléchi en passant par B' :

Relations de conjugaison et grandissement

Relation de conjugaison avec origine au sommet ou encore formule de Descartes :

$$\begin{array}{|c|}\hline {\displaystyle \frac{1}{\overline{SA}}}+{\displaystyle \frac{1}{\overline{SA\text{'}}}}={\displaystyle \frac{2}{\overline{SC}}}\\ \hline\end{array}$$

Relation de conjugaison avec origine au centre :

$$\begin{array}{|c|}\hline {\displaystyle \frac{1}{\overline{CA}}}+{\displaystyle \frac{1}{\overline{CA\text{'}}}}={\displaystyle \frac{2}{\overline{CS}}}\\ \hline\end{array}$$

Relation de conjugaison avec origine aux foyers ou encore formule de Newton

$$\begin{array}{|c|}\hline \overline{FA}\hspace{0.17em}.\hspace{0.17em}\overline{FA\text{'}}={\overline{SF}}^2=f^2={\displaystyle \frac{{\overline{SC}}^2}{4}}\\ \hline\end{array}$$

Grandissement :

$$\begin{array}{|c|}\hline \gamma ={\displaystyle \frac{\overline{A\text{'}B\text{'}}}{\overline{AB}}}=-{\displaystyle \frac{\overline{SA\text{'}}}{\overline{SA}}}={\displaystyle \frac{\overline{CA\text{'}}}{\overline{CA}}}=-{\displaystyle \frac{\overline{SF}}{\overline{FA}}}=-{\displaystyle \frac{\overline{FA\text{'}}}{\overline{SF}}}\\ \hline\end{array}$$