\documentclass[11pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - \'Electrocinétique I - Lois générales dans le cadre de l'ARQS}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}



\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}




\begin{document}


\part*{Lois générales dans le cadre de l'ARQS}
\noindent ARQS=Approximation des Régimes Quasi Stationnaires, consiste à négliger les temps de propagation ce qui est raisonnable si les
fréquences et les dimensions des circuits ne sont pas trop grandes ce qui sera toujours le cas en première année.\\
\\
De plus dans ce chapitre, les grandeurs électriques seront constantes : \textbf{régime continu}.

\tableofcontents

\pagebreak


\section{Courant électrique}
\noindent Considérons un circuit très simple : une pile reliée à
une ampoule par deux fils conducteurs.\\
\\
La pile crée une \textbf{différence de potentiel} entre les points
$A$ et
$B$, $V_A-V_B=U_{AB}$, \textbf{tension} entre les points $A$ et $B$.\\
\\
Cette différence de potentiel est à l'origine d'un champ
électrique $\vec{E}$ qui met en mouvement les \textbf{porteurs de
charge}.
Le résultat est un \textbf{courant électrique}.\\
\\
Dans un métal, les porteurs de charge sont les \textbf{électrons
libres}; dans les semiconducteurs, ce sont les électrons libres et
les trous; dans les liquides conducteurs=électrolytes, ce sont les
ions.\\
\\
On définit l'\textbf{intensité} du courant comme étant la charge
qui
traverse une section du fil conducteur par unité de temps.\\
Si $dq$ est la charge qui traverse la section pendant un
intervalle de temps $dt$ :
$$\boxed{I=\dfrac{dq}{dt}}$$
$I$ en ampères ($A$); \\
$dq$ en coulombs ($C$); \\
$dt$ en secondes ($s$).\\
Exemple : $I=1\,mA$, pendant $1\,s$ il y a $\dfrac{10^{-3}\,A\times
1\,s}{1,6.10^{-19}\,C}=6.10^{15}\,e^-$
qui traverse la section !\\
\\
Remarque : le sens conventionnel du courant est celui des porteurs
de charges positifs.\\
\cadre{L'électrocinétique est le domaine de l'électromagnétisme où
les manifestations du mouvement des porteurs de charge sont
étudiées en termes de courants et de tensions.}





\section{Loi d'Ohm}
\noindent De nombreux conducteurs vérifient
$$\boxed{U_{AB}=V_A-V_B=RI}$$
$U_{AB}$ tension ou différence de potentiel entre les extrémités
du conducteur en volt ($V$);\\
$I$ intensité du courant circulant dans le conducteur en ampère ($A$);\\
$R$ résistance en ohm ($\Omega$).\\
\\
On peut aussi écrire $I=GU_{AB}$ où $G=1/R$ est la conductance en
siemens ($S$).\\
\\
Expérimentalement, la résistance d'un conducteur métallique
cylindrique et homogène est proportionnelle à la longueur $l$ et
inversement proportionnelle à la surface de la section $S$.
$$\boxed{R=\rho\dfrac{l}{S}=\dfrac{1}{\gamma}\dfrac{l}{S}}$$
$\rho$ résistivité en $\Omega .m$;\\
$\gamma$ conductivité en $\Omega^{-1} .m^{-1}$ ou $S.m^{-1}$.






\section{Composition des circuits}
\subsection{Les dipôles}
\noindent Le branchement d'un dipôle se fait par une paire de
bornes ou de pôles%
\graphique{width=10cm}{dipoles} %


\subsection{Caractéristique d'un dipôle}
\noindent La relation entre l'intensité du courant $I$ qui traverse
le dipôle et la tension $U$ à ses bornes caractérise le dipôle.
Cette relation dépend du fléchage et doit toujours être accompagnée
d'un schéma.%
\graphique{width=6.5cm}{caracteristique_resistance}%
\graphique{width=6.5cm}{caracteristique_source_tension}%
\graphique{width=6.5cm}{caracteristique_source_courant}%

Retenons :
\cadre{$U=RI$ pour une résistance.\\
\\
En régime continu, la bobine se comporte comme un fil.\\
\\
En régime continu, le condensateur se comporte comme un interrupteur
ouvert.\\
\\
Une source (idéale) de tension maintient entre ses bornes une
tension indépendante de l'intensité du courant qui la traverse.
$$\boxed{U=E}$$
Une source (idéale) de courant débite un courant d'intensité
indépendante de la tension appliquée à ses bornes.
$$\boxed{I=I_0}$$}


\subsection{Fils de connexion - Noeuds - Branche - Maille -
Réseau} %
\noindent Les composants d'un circuit sont reliés par des
\textbf{fils de connexion} qui sont des fils conducteur dont la
faible résistance est négligeable devant les autres résistances du
montage. $U\simeq 0$ aux bornes d'un fil de connexion.\\
\\
Les branchements donnent naissance à ce que l'on appelle des
\textbf{noeuds} qui sont des points de jonction entre au moins 3
fils de connexion.\\
\\
Des dipôles montés en série entre 2 noeuds constituent une
\textbf{branche}. Rappelons que 2 dipôles sont montés en série
lorsqu'ils ont une borne commune et lorsqu'ils sont traversés par
le même courant.\\
\\
Un ensemble de branches formant un contour fermé que l'on peut
parcourir en ne passant qu'une fois par chaque noeud est une
\textbf{maille}.\\
\\
Et enfin un \textbf{réseau} ou circuit est un ensemble de
composants reliés par des fils de connexion qui peut être analysé
en termes de noeuds, branches et mailles.





\section{Lois de \textsc{Kirchhoff}}
\subsection{Loi des noeuds et conservation de la charge}
\noindent Pour un noeud donné, la somme des intensités des
courants qui y arrivent est égale à la somme des intensités des
courants qui en repartent.\\
\\
Exemple : $I_1+I_3+I_4=I_2+I_5$ %
\graphique{width=7cm}{loi_noeuds} %
C'est une conséquence de la conservation de la charge, les charges
ne peuvent être ni créées, ni détruites.\\
\\
En particulier, l'intensité est la même en tout point d'un circuit
sans dérivation (dans l'ARQS). \pagebreak
\subsection{Loi des mailles}
\noindent Exemple : \graphique{width=7cm}{loi_maille}
$$V_A-V_B+V_B-V_C+V_C-V_D+V_D-V_A=0$$
$$U_{AB}+U_{BC}+U_{CD}+U_{DA}=0$$





\section{Puissance électrocinétique reçue par un dipôle}
\graphique{width=5cm}{aspect_energetique}%
Pendant $dt$ il y a $\dfrac{Idt}{q}$ porteurs de charge qui entrent
en $A$, leur énergie est $\dfrac{Idt}{q}\times qV_A$ (énergie d'un
porteur cf électromagnétisme).\\
Il y en a le même nombre qui sortent en $B$, leur énergie est
$\dfrac{Idt}{q}\times qV_B$ le dipôle \textbf{reçoit} donc l'énergie
$\delta W=Idt(V_A-V_B)=UIdt$ ce qui correspond à la puissance
\textbf{reçue}
$$\boxed{\mathcal{P}=\dfrac{\delta W}{dt}=UI}$$
Un dipôle à un comportement récepteur si $\mathcal{P}>0$.\\
\\
Un dipôle à un comportement générateur si $\mathcal{P}<0$.\\
\\
Un dipôle peut avoir un comportement récepteur à certains moments
et un comportement générateur à d'autres moments (ex. batterie).\\
\\
Pour une résistance $U=RI$ :%
$$\mathcal{P}=UI=RI^2$$





\section{Modélisations linéaires d'un dipôle actif}
\noindent Consiste à linéariser la caractéristique du dipôle : %
\graphique{width=6.5cm}{caracteristique_linearisee}%

\subsection{Représentation de \textsc{Thévenin}}
$$U=E-RI$$
Le dipôle peut être considéré comme l'association série d'une source
de tension $E$ (tension à vide) et d'une résistance $R$
(pente) :%
\graphique{width=5cm}{Thevenin}

\subsection{Représentation de \textsc{Norton}}
$$I=I_0-\dfrac{U}{R}\quad\mathrm{avec}\quad I_0=\dfrac{E}{R}$$
Le dipôle peut être considéré comme l'association parallèle d'une source de courant $I_0$ (courant de court circuit) et d'une
résistance $R$ (pente) : %
\graphique{width=5cm}{Norton}




\section{Théorèmes généraux relatifs aux réseaux linéaires}
\noindent Circuit constitué uniquement de composants linéaires càd
de composants pour lesquels tension et intensité sont reliés soit
par une relation affine soit par une équation différentielle
linéaire.

\subsection{Association série de dipôles - Diviseur de tension}
\noindent Association série de résistances équivalent à une
résistance $$R=\sum_i R_i$$%
Association série de condensateurs équivalent à un condensateur de
capacité $C$ tel que (voir chapitre suivant)
$$\dfrac{1}{C}=\sum_i\dfrac{1}{C_i}$$%
Association série de bobines équivalent à une bobine d'inductance
(voir chapitre suivant)
$$L=\sum_i L_i$$%
Association série de générateurs de \textsc{Thévenin}
$$E=E_1+E_2\quad\mathrm{et}\quad R=R_1+R_2$$
Diviseur de tension :%
$$U_2=\dfrac{R_2}{R_1+R_2}U$$
\graphique{}{diviseur_tension}


\subsection{Association parallèle de dipôles - Diviseur de courant}
\noindent Association parallèle de résistances équivalent à une
résistance $R$ telle que $$\dfrac{1}{R}=\sum_i\dfrac{1}{R_i}$$%
Association parallèle de condensateurs équivalent à un
condensateur de capacité (voir chapitre suivant)$$C=\sum_i C_i$$%
Association parallèle de bobines équivalent à une bobine
d'inductance $L$ telle que (voir chapitre suivant)$$\dfrac{1}{L}=\sum_i\dfrac{1}{L_i}$$%
Association parallèle de générateurs de \textsc{Norton}
$$I_0=I_{0_1}+I_{0_2}\quad\mathrm{et}\quad R=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$$
Diviseur de courant :%
$$I_2=\dfrac{R_1}{R_1+R_2}I$$
\graphique{}{diviseur_courant}

\label{dernierepage}


\end{document}