\documentclass[11pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - \'Electrocinétique II - Régime sinusoïdal forcé}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}



\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}




\begin{document}



\part*{Régime sinusoïdal forcé}


\tableofcontents


\section{Rôle générique pour l'étude des régimes périodiques forcés}
\noindent Nous allons reprendre l'étude du régime libre en
ajoutant à l'équation différentielle un second membre sinusoïdal.
$$\ddot{x}+2\alpha\dot{x}+\omega_0^2x=A\cos(\omega t)$$
Tout signal périodique $s(t)$ de période $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$
peut s'écrire comme une combinaison linéaire de signaux
sinusoïdaux (série de Fourier)
$$s(t)=\dfrac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{n=\infty}\left(A_n\cos(n\omega
t)+B_n\sin(n\omega t)\right)$$ %
Si nous rajoutons à l'équation différentielle un second membre
périodique (non sinusoïdal), connaissant la solution avec second
membre sinusoïdal nous pouvons en déduire la solution avec second
membre
périodique.\\
En effet L'équation différentielle étant linéaire, la solution
avec second membre périodique peut s'écrire comme une combinaison
linéaire des solutions avec second membre sinusoïdal d'où le rôle
générique du régime sinusoïdal forcé pour l'étude des régimes
périodiques forcés.




\section{Signaux sinusoïdaux}

\subsection{Amplitude, phase, pulsation et fréquence}
\noindent Une grandeur sinusoïdale peut-être représentée par
$$\boxed{x(t)=X_m\cos(\omega t+\varphi)}$$
\graphique{height=4.5cm}{sinus} %
$X_m$ est l'\textbf{amplitude} (dimension de la grandeur $x$)\\
\\
$\omega$ est la \textbf{pulsation} en $rad.s^{-1}$\\
\\
$\omega t+\varphi$ est la \textbf{phase} à l'instant $t$ (en radian)\\
\\
$\varphi$ est la phase à l'origine des temps (en radian)\\
\\
La \textbf{période} temporelle est la durée au bout de laquelle le
signal se reproduit identique à lui-même
$$\boxed{T=\dfrac{2\pi}{\omega}}$$
en seconde ($s$)\\
\\
La \textbf{fréquence} du signal est le nombre de périodes (ou
cycles) par seconde
$$\boxed{f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}}$$
en hertz ($Hz$)

\subsection{Valeur moyenne et valeur efficace}
\noindent On définit d'une manière générale pour un signal périodique la \textbf{valeur moyenne} notée $<x>$ par
$$<x(t)>=\dfrac{1}{T}\int_0^Tx(t)\,dt$$
$<x>=0$ pour une fonction sinusoïdale.\\
\\
On définit d'une manière générale pour un signal périodique la
\textbf{valeur efficace} notée $X$ par
$$X^2=\dfrac{1}{T}\int_0^Tx^2(t)\,dt$$
Pour une fonction sinusoïdale
$$X^2=\dfrac{X_m^2}{T}\dfrac{1}{2}T\Rightarrow\boxed{
X=\dfrac{X_m}{\sqrt{2}}}$$


\subsection{Notation complexe}
\noindent Toute grandeur sinusoïdale de pulsation $\omega$
peut-être mise sous la forme
$$x(t)=X_m\cos(\omega t+\varphi)$$
La représentation complexe de $x(t)$ est la fonction complexe
$$\boxed{\underline{x}(t)=X_m\exp j(\omega t+\varphi)=\underline{X}_m\exp j\omega t}$$
avec $j^2=-1$\\
\\
$\underline{X}_m=X_m\exp j\varphi$ est l'\textbf{amplitude
complexe}, son module est égale à l'amplitude de la grandeur
$x(t)$
$$\boxed{X_m = |\underline{X}_m|}$$
son argument est égale à la phase à l'origine des temps de la
grandeur $x(t)$
$$\boxed{\varphi = \arg(\underline{X}_m)}$$
\\
Le retour à la grandeur réelle s'effectue en prenant la partie
réelle de la fonction complexe
$$x(t)=\mathcal{R}e\{\underline{x}(t)\}$$
Attention $X_m\not=\mathcal{R}e\{\underline{X_m}\}$


\subsection{Représentation de Fresnel}
\cadre{La représentation de Fresnel de $x(t)=X_m\cos(\omega
t+\varphi)$ est la représentation géométrique de
$\underline{X}_m$ dans le plan complexe.} %






\section{\'Etude du RLC série}
\subsection{Régime sinusoïdal forcé}
\graphique{height=3.5cm}{RLC}%
Nous avons déjà étudié le régime libre $e(t)=0$ et la réponse à un
échelon de tension $e(t)=E$.\\
Nous allons étudié le cas où $e(t)=E_m\cos\omega t$
$$\ddot{q}+2\alpha\dot{q}+\omega_0^2 q=\dfrac{E_m}{L}\cos\omega
t$$ %
La solution est la somme
$$q=q^{(h)}+q^{(p)}$$
$q^{(h)}$ correspond au régime libre qui disparaît au bout de
quelques $\tau=\dfrac{1}{2\alpha}$\\
\\
$q^{(p)}$, solution particulière, est de la forme $Q_m\cos(\omega t+\varphi)$%
\cadre{En \textbf{régime sinusoïdal forcé}, le régime libre a disparu, on cherche donc une solution de la forme
$$q(t)=Q_m\cos(\omega t+\varphi)$$
La réponse $q(t)$ à la même pulsation que l'excitation $e(t)$; reste à déterminer l'amplitude et le déphasage.}%
En reportant $q(t)$ dans l'équation différentielle, on trouve
$$-Q_m\omega^2(\cos\omega t\cos\varphi-\sin\omega t\sin\varphi)-2\alpha Q_m\omega(\sin\omega t\cos\varphi+\cos\omega t\sin\varphi)$$
$$+\omega_0^2Q_m(\cos\omega t\cos\varphi-\sin\omega
t\sin\varphi)=\dfrac{E_m}{L}\cos\omega t$$ %
En identifiant les termes en $\cos\omega t$ et les termes en
$\sin\omega t$
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      (\omega_0^2-\omega^2)Q_m\cos\varphi-2\alpha\omega\,Q_m\sin\varphi=\dfrac{E_m}{L}\\
      -2\alpha\omega\,Q_m\cos\varphi-(\omega_0^2-\omega^2)Q_m\sin\varphi=0
    \end{array}
  \right. $$%
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      \cos\varphi=\dfrac{\dfrac{E_m}{L}(\omega_0^2-\omega^2)}{[(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\alpha^2\omega^2]Q_m}\\
      \sin\varphi=\dfrac{-2\alpha\omega\dfrac{E_m}{L}}{[(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\alpha^2\omega^2]Q_m}
    \end{array}
  \right. $$%
$$\tan\varphi=\dfrac{-2\alpha\omega}{\omega_0^2-\omega^2}$$
$$\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1\Rightarrow
Q_m=\dfrac{\dfrac{E_m}{L}}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\alpha^2\omega^2}}$$

\subsection{Simplification apportée par la notation complexe}
\noindent Soit $\underline{q}(t)$ la représentation complexe de
$q(t)$.\\
L'équation différentielle étant linéaire, si $q(t)$ est solution
alors $\underline{q}(t)$ est aussi solution (on remplace
$\cos\omega t$ par $\exp(j\omega t)$ dans l'équation
différentielle)
$$-\omega^2\,\underline{Q}_m\exp j(\omega t)+2\alpha j\omega\,\underline{Q}_m\exp j(\omega
t)+\omega_0^2\,\underline{Q}_m\exp j(\omega
t)=\dfrac{E_m}{L}\exp(j\omega t)$$%
On simplifie par $\exp(j\omega t)$
$$\underline{Q}_m=\dfrac{\dfrac{E_m}{L}}{\omega_0^2-\omega^2+j\,2\alpha
\omega}$$%
et on en déduit directement l'amplitude
$$Q_m = |\underline{Q}_m|=\dfrac{\dfrac{E_m}{L}}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\alpha^2\omega^2}}$$
et le déphasage
$$\varphi = \arg(\underline{Q}_m)=\arctan\dfrac{-2\alpha\omega}{\omega_0^2-\omega^2}$$
\cadre{Retenons que d'une manière générale en notation complexe :\\
- dériver revient à multiplier par $j\omega$ (à tourner de $\pi/2$
dans le plan complexe);\\
- intégrer revient à diviser par $j\omega$ (à tourner de $-\pi/2$ dans le plan complexe).}


\subsection{Réponse en intensité - Résonance d'intensité}
$$e(t)=Ri+L\dfrac{di}{dt}+\dfrac{1}{C}\int idt$$
En régime sinusoïdal forcé ($i^{(h)}\to 0$), on cherche une
solution de la forme
$$i(t)=I_m\cos(\omega t+\varphi)$$
ayant pour représentation complexe
$$\underline{i}(t)=\underline{I}_m\exp(\omega t)$$
avec $\underline{I}_m=I_m\exp(j\varphi)$\\
\\
$\underline{i}(t)$ est solution de l'équation différentielle
$$E_m\exp(j\omega t)=R\underline{i}+L\dfrac{d\underline{i}}{dt}+\dfrac{1}{C}\int \underline{i}dt$$
$E_m=\left(R+Lj\omega+\dfrac{1}{C}\dfrac{1}{j\omega}\right)\underline{I}_m$
$$\underline{I}_m=\dfrac{E_m}{R+j\left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)}=\dfrac{E_m}{R}\dfrac{1}{1+jQ\left(x-\dfrac{1}{x}\right)}$$
avec $x=\dfrac{\omega}{\omega_0}$ et $Q=\dfrac{L\omega_0}{R}$
$$I_m=|\underline{I_m}|=\dfrac{E_m}{R}\dfrac{1}{1+Q^2\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2}$$
\graphique{height=6cm}{intensite}%
On observe un \textbf{phénomène de résonance} d'autant plus marqué
que le facteur de qualité est élevé.\\
\\
$$\varphi=\arg(\underline{I}_m)=-\arctan Q(x-\dfrac{1}{x})$$
\graphique{height=5.5cm}{phase_i}%
\cadre{Quelque soit le facteur de qualité, il y a toujours résonance d'intensité pour $\omega=\omega_0$; à la résonance, l'intensité est
maximale et le déphasage entre la réponse (l'intensité) et l'excitation (tension $e(t)$) est nul.}


\subsection{Réponse en charge - Résonance de tension aux bornes du condensateur}
$$e(t)=RC\dfrac{du}{dt}+LC\dfrac{d^2u}{dt^2}+u$$
En régime sinusoïdal forcé ($u^{(h)}\to 0$), on cherche une
solution de la forme
$$u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi_u)$$
ayant pour représentation complexe
$$\underline{u}(t)=\underline{U}_m\exp(\omega t)$$
avec $\underline{U}_m=U_m\exp(j\varphi_u)$\\
\\
$\underline{u}(t)$ est solution de l'équation différentielle
$$E_m\exp(j\omega t)=RC\dfrac{d\underline{u}}{dt}+LC\dfrac{d^2\underline{u}}{dt^2}+\underline{u}$$
$E_m=\left(RCj\omega-LC\omega^2+1\right)\underline{U}_m$
$$\underline{U}_m=\dfrac{E_m}{1-\dfrac{\omega^2}{\omega_0^2}+jRC\omega}=\dfrac{E_m}{1-x^2+j\dfrac{x}{Q}}$$
avec $x=\dfrac{\omega}{\omega_0}$ et $Q=\dfrac{1}{RC\omega_0}$
$$U_m=|U_m|=\dfrac{E_m}{\sqrt{(1-x^2)^2+\dfrac{x^2}{Q^2}}}$$
\graphique{height=6cm}{tension}%
On n'observe pas toujours un \textbf{phénomène de résonance}. S'il
y a résonance, celle-ci est d'autant plus marquée
que le facteur de qualité est élevé.\\
\\
$$\varphi_u=\arg(\underline{U}_m)=-\arctan \dfrac{x}{Q(1-x^2)}$$
\graphique{height=6cm}{phase_u}%
\cadre{Si le facteur de qualité est supérieur à
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, il y a résonance de tension aux bornes du
condensateur pour une pulsation d'autant plus proche de $\omega_0$
que le facteur de qualité est élevé; à la résonance, la tension
est maximale mais le déphasage entre la réponse (la tension aux
bornes du condensateur) et l'excitation (tension $e(t)$) n'est pas
nul.} %
Il y a résonance si $U_m$ admet un maximum ou si
$(1-x^2)^2+\dfrac{x^2}{Q^2}$ admet un minimum c'est à dire si
$$2(1-x^2)(-2x)+\dfrac{2x}{Q^2}=0$$
$$x^2=1-\dfrac{1}{2Q^2}$$
On trouve $\omega_r=\sqrt{1-\dfrac{1}{2Q^2}}$ à condition que
$Q>\dfrac{1}{\sqrt{2}}$\\
$U_m$ vaut alors
$$U_m(\omega_r)=\dfrac{QE_m}{1-\dfrac{1}{4Q^2}}\simeq QE_m$$
Q est aussi appelé facteur de surtension.




\section{Impédance}
\subsection{Définition}
\noindent Soit un dipôle passif linéaire fonctionnant en régime sinusoïdal forcé. Si $\underline{U}_m$ et $\underline{I}_m$ désignent les
amplitudes complexes associées à $u(t)$ et $i(t)$, on appelle impédance complexe du dipôle la grandeur notée $\underline{Z}$ et définie en
\emph{convention récepteur} par
$$\boxed{\underline{Z}=\dfrac{\underline{u}}{\underline{i}}=\dfrac{\underline{U}_m}{\underline{I}_m}}$$
On définie aussi l'\textbf{admittance complexe}
$$\boxed{\underline{Y}=\dfrac{1}{\underline{Z}}}$$
\\
$\underline{Z}$ contient tout ce qui caractérise le comportement
du dipôle en régime sinusoïdal forcé
$$\boxed{|\underline{Z}|=\dfrac{U_m}{I_m}=\dfrac{U}{I}}$$
rapport des valeurs maximales (oscilloscope) ou rapport des
valeurs efficaces (multimètre) en ohm ($\Omega$)
$$\boxed{\arg\underline{Z}=\varphi_u-\varphi_i}$$
déphasage de la tension par rapport à l'intensité


\subsection{Dipôles R, L et C}
\noindent Pour une résistance $R$
$$\underline{u}=R\underline{i}\rightarrow
\boxed{\underline{Z}=R}$$ %
\\
Pour une inductance $L$
$$\underline{u}=L\dfrac{d\underline{i}}{dt}=Lj\omega\underline{i}\rightarrow
\boxed{\underline{Z}=jL\omega}$$ %
La tension est en avance de $\pi/2$ sur l'intensité.\\
\\
Pour un condensateur $C$
$$\underline{i}=C\dfrac{d\underline{u}}{dt}=Cj\omega\underline{u}\rightarrow
\boxed{\underline{Z}=\dfrac{1}{jC\omega}}$$ %
La tension est en retard de $\pi/2$ sur l'intensité.
\\


\subsection{Générateurs}
\noindent linéaire en régime sinusoïdal forcé si
$$\underline{u}=\underline{e}-\underline{Z}\underline{i}$$
$\underline{e}$ est la fem complexe du générateur\\
$\underline{Z}$ est l'impédance interne du générateur\\


\section{Réseaux linéaires en régime sinusoïdal forcé}
\noindent Un réseau linéaire en régime sinusoïdal forcé est un
réseau constitué de dipôles passifs linéaires et de générateurs
linéaires délivrant des tensions ou des courants sinusoïdaux que
nous choisirons tous de même pulsation $\omega$.\\
Tous les résultats vus sur les réseaux linéaires sont
transposables à condition de raisonner sur les amplitudes
complexes et d'élargir la notion de résistance à la notion
d'impédance.
\subsection{Loi des noeuds}
\subsection{Loi des mailles}
\subsection{Association série - Diviseur de tension}
$${\underline{U}_2}_m=\dfrac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1+\underline{Z}_2}\underline{U}_m$$
\subsection{Association parallèle - Diviseur de courant}
$${\underline{I}_2}_m=\dfrac{\underline{Y}_1}{\underline{Y}_1+\underline{Y}_2}\underline{I}_m$$
\subsection{Loi des noeuds en terme de potentiel}
$${\underline{V}_N}_m=\dfrac{\sum
\underline{Y}_k{\underline{V}_k}_m}{\sum \underline{Y}_k}$$
\subsection{Générateurs équivalents de Thévenin et Norton}




\section{Puissance en régime sinusoïdal forcé}
\subsection{Puissance instantanée - Puissance moyenne - Facteur de
puissance} %
\noindent Soit $u(t)=U_m\cos(\omega t)$ la tension aux bornes d'un
dipôle linéaire quelconque orienté en convention récepteur et
$i(t)=I_m\cos(\omega t+\varphi)$ l'intensité du courant le
traversant.\\
\\
La \textbf{puissance instantanée} reçue par le dipôle
$$p(t)=u(t)i(t)=U_mI_m\cos(\omega t)\cos(\omega
t+\varphi)=\dfrac{U_mI_m}{2}(\cos(2\omega
t+\varphi)+\cos\varphi)$$ %
La \textbf{puissance moyenne}
$$\boxed{P=\dfrac{U_mI_m}{2}\cos\varphi=UI\cos\varphi}$$
$\cos\varphi$ est le \textbf{facteur de puissance}\\
\\
Aux bornes d'une résistance
$$P=UI$$
\\
Aux bornes d'une bobine ou d'un condensateur
$$P=0$$


\subsection{Notation complexe}
\noindent La puissance moyenne peut s'écrire
$$P=\mathcal{R}e\left\{\dfrac{1}{2}\underline{u}\,\underline{i}^*\right\}$$
en effet $\underline{u}\,\underline{i}^*=U_m\exp(j\omega
t)I_m\exp-(j\omega t+\varphi)=U_mI_m\exp-j\varphi$\\
\\
Posons $\underline{Z}=R+jX$ alors
$$P=\mathcal{R}e\left\{\dfrac{1}{2}\underline{Z}\,\underline{I}_m\,\underline{I}_m^*\right\}$$
$$=\mathcal{R}e\left\{\dfrac{1}{2}\underline{Z}\,|\underline{I}_m|^2\right\}=\dfrac{|\underline{I}_m|^2}{2}\mathcal{R}e\left\{\underline{Z}\right\}=RI^2$$

\label{dernierepage}
\end{document}
