\documentclass[12pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - \'Electromagnétisme - Magnétostatique}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : avril 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcounter{num}

\newcommand{\exo}[2]
{\addtocounter{num}{1}%
 \vspace{5mm}%
 \noindent\textbf{Exercice \thenum. #1.}\\%
 #2}


\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}


\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}



\begin{document}



\part*{Magnétostatique}

\tableofcontents%

\section{Phénomènes magnétiques}
\noindent Les matériaux ferromagnétiques (ex oxyde de fer
$Fe_3O_4$) sont naturellement aimantés. Ils présentent deux pôles
qui ne peuvent pas être isolés : deux pôles identiques se
repoussent, deux pôles différents s'attirent.\\
\\
Les matériaux paramagnétiques (ex fer à l'état metallique) sont
sensibles au magnétisme sans être aimantés eux-mêmes.\\
\\
Une force magnétique s'exerce entre un circuit parcouru par un
courant et un matériau magnétique, et entre deux circuits
parcourus par des courants.\\



\section{Les sources du champ magnétostatique}
\noindent Il n'existe pas de charge magnétique comme il existe des
charges électriques !%
\cadre{La description des phénomènes magnétostatiques peut-être
ramenée à l'action de courants, sources de champ magnétostatique,
sur d'autres courants}


\section{Champ magnétostatique}
\subsection{Force entre deux circuits}
\noindent Soit deux éléments de circuits $\mathbf{dl_1}$ en P et
$\mathbf{dl_2}$ en M respectivement parcourus par $I_1$ et $I_2$
$$d\mathbf{F}_{1\rightarrow
2}=\dfrac{\mu_0I_2\mathbf{dl}_2\wedge(I_1\mathbf{dl}_1\wedge\mathbf{PM})}{4\pi
PM^3}$$



\subsection{Formule de Biot et Savart}
\noindent$$\mathbf{F}_{1\rightarrow 2}=\int_{M\in\mathcal{C}_
2}I_2\mathbf{dl}_2\wedge\int_{P\in\mathcal{C}_1}\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I_1\mathbf{dl}_1\wedge\mathbf{PM}}{
PM^3}=\int_{M\in\mathcal{C}_2}I_2\mathbf{dl}_2\wedge\mathbf{B}_1(M)$$%
Le champ magnétostatique créé au point M par un circuit
$$\boxed{\mathbf{B}(M)=\int_{P\in\mathcal{C}}\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\mathbf{dl}\wedge\mathbf{PM}}{ PM^3}}$$ en
tesla (T) avec $\mu_0=4\pi.10^{-7}\,H.m^{-1}$ perméabilité du
vide.


\subsection{Formule de Laplace}
\noindent La force exercée sur un circuit plongé dans un champ
magnétostatique vérifie
$$\boxed{\mathbf{F}=\int_{M\in\mathcal{C}}I\mathbf{dl}\wedge\mathbf{B}(M)}$$


\subsection{Exemples de calcul direct}
\noindent Soit une portion de fil d'axe Oz parcouru par un courant
d'intensité $I$. Calculer le champ magnétostatique en un point M
situé à une distance $r$ de l'axe. On donnera le résultat en
fonction de $\alpha_1$ et $\alpha_2$ angles sous lesquels M voit
les extrémités du fil.
$$\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0I}{4\pi
r}(\sin\alpha_2-\sin\alpha_1)\,\mathbf{e}_\theta$$%
Si la longueur du fil est grande par rapport à $r$ alors
$$\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0I}{2\pi
r}\,\mathbf{e}_\theta$$%
\\
Soit une boucle de rayon $R$ parcouru par un courant d'intensité
$I$. Calculer le champ magnétostatique en un point M de l'axe de
la boucle. On notera $\alpha$ l'angle sous lequel M voir la
boucle.
$$\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0I}{2r}\sin^3\alpha\,\mathbf{e}_z$$%





\subsection{Lignes de champ}
\noindent Une \textbf{ligne de champ} est tangente en chacun de
ses points M au champ $\mathbf{B}(M)$.\\
\\
Deux lignes de champ ne peuvent se couper que si $\mathbf{B}(M)=0$
ou $\mathbf{B}(M)$ non défini.


\section{Invariances et symétries}
\subsection{Invariances}
\noindent Comme son analogue électrostatique, le champ
magnétostatique présente les mêmes invariances que ses sources :
les courants électriques.\\
\\
Si les courants sont invariants par rotation et/ou par
translation, $\mathbf{B}$ ne dépend pas des variables associées.\\


\subsection{Plan de symétrie et plan d'antisymétrie}
\noindent Une distribution est symétrique par rapport à un plan
$\Pi$ si, pour tout point M il existe un symétrique M', et si
$$I\mathbf{dl}(M)=symI\mathbf{dl}(M')$$
Une distribution est antisymétrique par rapport à un plan $\Pi^*$
si, pour tout point M il existe un symétrique M', et si
$$I\mathbf{dl}(M)=-symI\mathbf{dl}(M')$$
Nous généralisons les observations des cartes de champ :\\
\\
$\mathbf{B}$ est transformé en son antisymétrique par un plan
$\Pi$
$$\mathbf{B}(M')=-sym\,\mathbf{B}(M)$$
d'autre part $$\boxed{\mathbf{B}(M\in\Pi)\bot\Pi}$$ $\mathbf{B}$
est transformé en son symétrique par un plan $\Pi^*$
$$\mathbf{B}(M')=sym\,\mathbf{B}(M)$$
d'autre part $$\boxed{\mathbf{B}(M\in\Pi^*)\in\Pi^*}$$





\section{Potentiel vecteur (2\ieme année)}
\noindent L'équivalent de $V$ appelé potentiel vecteur et noté
$\mathbf{A}$ n'est pas au programme de première année.




\section{Théorème d'Ampère}
\cadre{La circulation du champ magnétostatique le long d'une
courbe orientée fermée $\mathcal{C}$ est égal à la somme
algébrique des courants enlacés par ce contour
$$\oint_\mathcal{C}\mathbf{B}.\mathbf{dl}=\mu_0I_{enlace}$$}
Vérifions en calculant la circulation le long d'un cercle de rayon
$r$ enlaçant un fil infini parcouru par un courant d'intensité $I$
:
$$\oint_\mathcal{C}\mathbf{B}.\mathbf{dl}=\oint_\mathcal{C}\dfrac{\mu_0I}{2\pi
r}\,\mathbf{e}_\theta.rd\theta\mathbf{e}_\theta=\mu_0I$$


\section{Synthèse - Flux du champ magnétostatique}
\noindent
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline%
& $\mathbf{E}$ & $\mathbf{B}$\\
\hline%
circulation & $\oint_\mathcal{C}\mathbf{E}.\mathbf{dl}=0$
&$\oint_\mathcal{C}\mathbf{B}.\mathbf{dl}=\mu_0I_{enlace}$\\
\hline%
flux &
$\oint_\mathcal{S}\mathbf{E}.\mathbf{n}_{ext}dS=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}$
& $\oint_\mathcal{S}\mathbf{B}.\mathbf{n}_{ext}dS=0$\\
\hline
\end{tabular}

\vspace{0.5cm} %
\noindent $\mathbf{E}$ est à circulation conservative.\\
\\
$\mathbf{B}$ tourne autour des courants.\\
\\
$\mathbf{E}$ diverge (ou converge) à partir des charges.\\
\\
Nous admettrons donc le caractère conservatif du flux de
$\mathbf{B}$.\\
Ce qui nous permet de montrer (sur un tube de champ) que lorsque
les lignes de champ $\mathbf{B}$ se resserrent, le champ augmente,
lorsqu'elles sont parallèles le champ est constant et lorsqu'elles
s'écartent, le
champ diminue.\\
Idem pour $\mathbf{E}$ dans une zone vide de charge.

\label{dernierepage}
\end{document}