\documentclass[11pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - 2005/2006 - Mécanique II - Système formé de deux points matériels}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : février 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcounter{num}

\newcommand{\exo}[2]
{\addtocounter{num}{1}%
 \vspace{5mm}%
 \noindent\textbf{Exercice \thenum. #1.}\\%
 #2}


\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}


\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}



\begin{document}



\part*{Système formé de deux points matériels}

\tableofcontents%
\vspace{1cm}%
\noindent Soit le système formé par deux points matériels $M_1$ de masse $m_1$, de vitesse $\mathbf{v}_1$, soumis à des forces de résultante
$\mathbf{F}_1$ et $M_2$ de masse $m_2$, de vitesse $\mathbf{v}_2$, soumis à des forces de résultante $\mathbf{F}_2$.
On notera $m$ la somme $m_1+m_2$\\
Par défaut, les vitesses et les accélérations sont calculées par
rapport à un référentiel $\mathcal{R}$ galiléen\\


\section{\'Eléments cinétiques}
\subsection{\'Eléments cinétiques dans $\mathcal{R}$}
$$\mathbf{p}=\sum_i\mathbf{p}_i=\sum_i m_i\mathbf{v}_i=m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2$$
est la \textbf{quantité de mouvement totale} ou \textbf{résultante cinétique} du système dans $\mathcal{R}$
$$\mathbf{L}_O=\sum_i{\mathbf{L}_O}_i=\sum_i\mathbf{OM}_i\wedge
m_i\mathbf{v}_i=\mathbf{OM}_1\wedge
m_1\mathbf{v}_1+\mathbf{OM}_2\wedge m_2\mathbf{v}_2$$%
est le \textbf{moment cinétique total} du système en $O$ dans $\mathcal{R}$
$$E_c=\sum_i{E_c}_i=\sum_i\dfrac{1}{2}m_i v_i^2=\dfrac{1}{2}m_1
v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2 v_2^2$$%
est l'\textbf{énergie cinétique totale} du système dans $\mathcal{R}$

\subsection{Centre de masse}
\noindent Le centre de masse du système (ou encore centre d'inertie, centre de gravité, barycentre) est le point $G$ défini par
$$\boxed{(m_1+m_2)\mathbf{OG}=m_1\mathbf{OM}_1+m_2\mathbf{OM}_2}$$
$O$ étant un point quelconque de $\mathcal{R}$; si $O=G$
$$m_1\mathbf{GM}_1+m_2\mathbf{GM}_2=0$$
Choisissons un point $O$ fixe dans $\mathcal{R}$
$$\boxed{\mathbf{v}_G=\dfrac{d\mathbf{OG}}{dt}=\dfrac{m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2}{m_1+m_2}}$$
est la vitesse du centre de masse $G$ par rapport à $\mathcal{R}$

\subsection{Référentiel barycentrique}
\cadre{Le référentiel barycentrique ou référentiel du centre de masse, noté $\mathcal{R}^*$,  est le référentiel en translation par rapport à
$\mathcal{R}$ dans lequel le centre de masse $G$ est fixe (souvent pris comme origine de
$\mathcal{R}^*$)} %
Attention : pour que $\mathcal{R}^*$ soit galiléen, il faut bien sûr que $\mathcal{R}$ soit galiléen mais aussi que
$\mathbf{v}_G=\mathbf{cte}$\\
\\
$\mathcal{R}^*$ étant en translation par rapport à $\mathcal{R}$, on peut dériver indifféremment par rapport à $\mathcal{R}$ ou $\mathcal{R}^*$,
la composition des vitesses s'écrit
$$\mathbf{v}=\mathbf{v}^*+\mathbf{v}_e=\mathbf{v}^*+\mathbf{v}_G$$
la composition des accélérations
$$\mathbf{a}=\mathbf{a}^*+\mathbf{a}_e=\mathbf{a}^*+\mathbf{a}_G$$

\subsection{\'Eléments cinétiques dans $\mathcal{R}^*$}
\subsubsection{Quantité de mouvement totale}
$$\mathbf{p}^*=\sum_i\mathbf{p_i}^*=\sum_i
m_i\mathbf{v}_i^*=m_1\mathbf{v}_1^*+m_2\mathbf{v}_2^*$$%
$$\mathbf{p}^*=m_1(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_G)+m_2(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_G)=0$$
\cadre{La quantité de mouvement totale du système dans $\mathcal{R}^*$ est nulle $\mathbf{p}^*=0$}

\subsubsection{Moment cinétique total en $G$}
$$\mathbf{L}_G^*=\sum_i{\mathbf{L}_G}_i^*=\sum_i\mathbf{GM}_i\wedge
m_i\mathbf{v}_i^*=\mathbf{GM}_1\wedge
m_1\mathbf{v}_1^*+\mathbf{GM}_2\wedge m_2\mathbf{v}_2^*$$%

\begin{eqnarray*}
  \mathbf{L}_G^* &=& (\mathbf{GO}+\mathbf{OM}_1)\wedge m_1\mathbf{v}_1^*+(\mathbf{GO}+\mathbf{OM}_2)\wedge m_2\mathbf{v}_2^* \\
                 &=& \mathbf{GO}\wedge(m_1\mathbf{v}_1^*+m_2\mathbf{v}_2^*)+\mathbf{OM}_1\wedge m_1\mathbf{v}_1^*+\mathbf{OM}_2\wedge m_2\mathbf{v}_2^* \\
                 &=& 0+\mathbf{OM}_1\wedge m_1(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_G)+\mathbf{OM}_2\wedge
                 m_2 (\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_G)\\
                 &=& \mathbf{OM}_1\wedge m_1\mathbf{v}_1+\mathbf{OM}_2\wedge
m_2\mathbf{v}_2-(m_1\mathbf{OM}_1+m_2\mathbf{OM}_2)\wedge\mathbf{v}_G\\
                 &=& \mathbf{L}_O-\mathbf{OG}\wedge m\mathbf{v}_G
\end{eqnarray*}
Cette relation, qui sera étudiée en 2\ieme~année, est appelée théorème de Koenig relatif au moment cinétique
$$\boxed{\mathbf{L}_O=\mathbf{L}_G^*+\mathbf{OG}\wedge m\mathbf{v}_G}$$

\subsubsection{\'Energie cinétique totale}
$$E_c^*=\sum_i{E_c}_i^*=\sum_i\dfrac{1}{2}m_i{v_i^*}^2=\dfrac{1}{2}m_1
{v_1^*}^2+\dfrac{1}{2}m_2{v_2^*}^2$$
\begin{eqnarray*}
  E_c^* &=& \dfrac{1}{2}m_1{v_1^*}^2+\dfrac{1}{2}m_2{v_2^*}^2\\
        &=&
        \dfrac{1}{2}m_1(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_G)^2+\dfrac{1}{2}m_2(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_G)^2\\
        &=&
        \dfrac{1}{2}m_1\mathbf{v}_1^2+\dfrac{1}{2}m_2\mathbf{v}_2^2-(m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2).\mathbf{v}_G+\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)\mathbf{v}_G^2\\
        &=& E_c-m\mathbf{v}_G^2+\dfrac{1}{2}m\mathbf{v}_G^2\\
        &=& E_c-\dfrac{1}{2}m\mathbf{v}_G^2
\end{eqnarray*}
Cette relation, qui sera étudiée en 2\ieme année, est appelée théorème de Koenig relatif à l'énergie cinétique
$$\boxed{E_c=E_c^*+\dfrac{1}{2}m\mathbf{v}_G^2}$$


\section{Dynamique du système}
\subsection{Forces intérieures et forces extérieures}
\noindent Décomposons $\mathbf{F}_1$ en $\mathbf{F}_{ext\to 1}+\mathbf{F}_{2\to 1}$ où $\mathbf{F}_{ext\to 1}$ est la force exercée par
l'extérieur sur $M_1$ et $\mathbf{F}_{2\to
1}$ la force exercée par $M_2$ sur $M_1$.\\
\\
De même $\mathbf{F}_2=\mathbf{F}_{ext\to 2}+\mathbf{F}_{1\to 2}$\\
\\
Les forces $\mathbf{F}_{2\to 1}$ et $\mathbf{F}_{1\to 2}$ s'exerçant entre $M_1$ et $M_2$ sont appelées \textbf{forces intérieures} au système,
les autres forces étant les \textbf{forces extérieures} au système

\subsection{Théorème de la quantité de mouvement}
\noindent ou théorème de la résultante cinétique\\
\\
$\mathcal{R}$ étant galiléen, on peut appliquer le principe fondamental de la dynamique à $M_1$
$$\dfrac{d\mathbf{p}_1}{dt}=\mathbf{F}_1=\mathbf{F}_{ext\to 1}+\mathbf{F}_{2\to
1}$$%
et à $M_2$
$$\dfrac{d\mathbf{p}_2}{dt}=\mathbf{F}_2=\mathbf{F}_{ext\to 2}+\mathbf{F}_{1\to
2}$$%
en ajoutant membre à membre on fait apparaître la quantité de mouvement totale
$$\dfrac{d(\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2)}{dt}=\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2=\mathbf{F}_{ext\to 1}+\mathbf{F}_{ext\to 2}+\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{F}_{1\to 2}$$
en utilisant la 3\ieme~loi de Newton ou principe de l'action et de la réaction
$$\boxed{\dfrac{d\mathbf{p}}{dt}=\mathbf{F}_{ext}}$$
où $\mathbf{p}$ est la quantité de mouvement totale et $\mathbf{F}_{ext}$ la résultante des forces extérieures qui
s'exercent sur le système\\
\\
$$\boxed{\begin{array}{rll}
  \mathbf{p} &=& m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2=m\mathbf{v}_G \\
  \dfrac{d\mathbf{p}}{dt} &=& m\dfrac{d\mathbf{v}_G}{dt}=m\mathbf{a}_G=\mathbf{F}_{ext}
\end{array}}$$
\cadre{Le mouvement de $G$ est identique à celui d'un point matériel de masse $m=m_1+m_2$ soumis à une force égale à la résultante des forces
extérieures}

\subsection{Théorème du moment cinétique}
\noindent Soit $O$ un point fixe de $\mathcal{R}$ galiléen\\
\\
Appliquons le théorème du moment cinétique en O à $M_1$
$$\dfrac{d{\mathbf{L}_O}_1}{dt}=\mathbf{OM}_1\wedge\mathbf{F}_1=\mathbf{OM}_1\wedge\mathbf{F}_{ext\to 1}+\mathbf{OM}_1\wedge\mathbf{F}_{2\to
1}$$ %
et à $M_2$
$$\dfrac{d{\mathbf{L}_O}_2}{dt}=\mathbf{OM}_2\wedge\mathbf{F}_2=\mathbf{OM}_2\wedge\mathbf{F}_{ext\to 2}+\mathbf{OM}_2\wedge\mathbf{F}_{1\to
2}$$ %
en ajoutant membre à membre on fait apparaître le moment cinétique total
$$\dfrac{d({\mathbf{L}_O}_1+{\mathbf{L}_O}_2)}{dt}=%
\mathbf{OM}_1\wedge\mathbf{F}_{ext\to 1}+\mathbf{OM}_2\wedge\mathbf{F}_{ext\to 2}+%
\mathbf{M}_1\mathbf{M}_2\wedge\mathbf{F}_{1\to
2}$$ %
en utilisant la 3\ieme~loi de Newton ou principe de l'action et de la réaction
$$\boxed{\dfrac{d{\mathbf{L}_O}}{dt}={\boldsymbol{\mathcal{M}}_O}_{ext}}$$%
où ${\mathbf{L}_O}$ est le moment cinétique total en $O$ et ${\mathbf{\mathcal{M}}_O}_{ext}$ le moment résultant en $O$ des
forces extérieures qui s'exercent sur le système\\


\subsection{\'Etude énergétique}
\subsubsection{Théorème de l'énergie cinétique}
\noindent $\mathcal{R}$ étant galiléen, on peut appliquer le théorème de l'énergie cinétique à $M_1$
$$\dfrac{d{E_c}_1}{dt}=\mathbf{F}_1.\mathbf{v}_1=\mathbf{F}_{ext\to 1}.\mathbf{v}_1+\mathbf{F}_{2\to
1}.\mathbf{v}_1$$%
et à $M_2$
$$\dfrac{d{E_c}_2}{dt}=\mathbf{F}_2.\mathbf{v}_2=\mathbf{F}_{ext\to 2}.\mathbf{v}_2+\mathbf{F}_{1\to
2}.\mathbf{v}_2$$%
en ajoutant membre à membre on fait apparaître l'énergie cinétique totale
$$\dfrac{d({E_c}_1+{E_c}_2)}{dt}=\mathbf{F}_{ext\to 1}.\mathbf{v}_1+\mathbf{F}_{ext\to 2}.\mathbf{v}_2+\mathbf{F}_{2\to 1}.\mathbf{v}_1+\mathbf{F}_{1\to 2}.\mathbf{v}_2$$
Contrairement aux deux cas précédents, il n'y a, a priori, aucune raison que les termes faisant apparaître les forces intérieures disparaissent
$$\boxed{$$\dfrac{dE_c}{dt}=\mathcal{P}_{ext}+\mathcal{P}_{int}}$$
où $E_c$ est l'énergie cinétique totale, $\mathcal{P}_{ext}$ la puissance des forces extérieures et $\mathcal{P}_{int}$ la puissance des forces
intérieures

\subsubsection{Puissance des forces intérieures}%
\noindent Remarquons que la puissance des forces intérieures est indépendante du référentiel
$$\mathcal{P}_{int}=\mathbf{F}_{2\to 1}.\mathbf{v}_1+\mathbf{F}_{1\to
2}.\mathbf{v}_2=\mathbf{F}_{1\to 2}.(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)=\mathbf{F}_{1\to
2}.(\mathbf{v}_2^*-\mathbf{v}_1^*)$$%
En particulier, pour un système rigide, $\mathcal{P}_{int}=0$

\subsubsection{\'Energie potentielle - \'Energie mécanique}
\noindent Si toutes les forces sont conservatives ou ne travaillent pas
$$\dfrac{dE_c}{dt}=-\dfrac{dE_p}{dt}$$
où $E_p$ est l'énergie potentielle totale, alors l'énergie mécanique totale $E=E_c+E_p$ se conserve




\section{Système isolé de deux points matériels}
\noindent Si le système est isolé, $\mathbf{F}_{ext\to 1}=0$ et $\mathbf{F}_{ext\to 2}=0$, alors $\mathbf{F}_{ext}=0$,
${\mathbf{\mathcal{M}}_O}_{ext}=0$ et $\mathcal{P}_{ext}=0$

\subsection{Lois de conservation}
\subsubsection{Conservation de la quantité de mouvement}
$$\boxed{\dfrac{d\mathbf{p}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{p}=m\mathbf{v}_G=\mathbf{cte}}$$
Le référentiel barycentrique est donc galiléen
\subsubsection{Conservation du moment cinétique}
$$\boxed{\dfrac{d{\mathbf{L}_O}}{dt}=0\Rightarrow\mathbf{L}_O=\mathbf{cte} }$$%
$\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}^*$ étant en translation l'un par rapport à l'autre, on peut dériver indifféremment; comme
$\mathbf{L}_G^*=\mathbf{L}_O-\mathbf{OG}\wedge m\mathbf{v}_G$
$$\dfrac{d{\mathbf{L}_G^*}}{dt}=\dfrac{d{\mathbf{L}_O}}{dt}-\mathbf{v}_G\wedge m\mathbf{v}_G-\mathbf{OG}\wedge m\dfrac{d\mathbf{v}_G}{dt}=\dfrac{d{\mathbf{L}_O}}{dt}$$%
$$\boxed{\dfrac{d{\mathbf{L}_G^*}}{dt}=0\Rightarrow\mathbf{L}_G^*=\mathbf{cte}}$$
On aurait pu aussi appliquer le théorème du moment cinétique en $G$ (fixe dans $\mathcal{R}^*$) dans $\mathcal{R}^*$ galiléen
\subsubsection{Conservation de l'énergie mécanique}
$$\dfrac{dE_c}{dt}=\mathcal{P}_{int}$$
Dans le cadre du programme les forces intérieures qui s'exercent entre $M_1$ et $M_2$ sont conservatives (par exemple interaction
gravitationnelle ou électrostatique)
$$\boxed{\dfrac{dE}{dt}=0\Rightarrow E=cte}$$
$\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}^*$ étant en translation l'un par rapport à l'autre, on peut dériver indifféremment; comme
$E_c^*=E_c-\dfrac{1}{2}m\mathbf{v}_G^2$
$$\dfrac{dE_c^*}{dt}=\dfrac{dE_c}{dt}-m\mathbf{v}_G.\dfrac{d\mathbf{v}_G}{dt}=\dfrac{dE_c}{dt}=\mathcal{P}_{int}=\mathcal{P}_{int}^*=-\dfrac{dE_p^*}{dt}$$
$$\boxed{\dfrac{dE^*}{dt}=0\Rightarrow E^*=cte}$$

\subsection{Réduction du problème à deux corps à un problème à un
corps}
\subsubsection{Mobile fictif - Masse réduite}
\noindent Reprenons
$$m_1\mathbf{a}_1=\mathbf{F}_{2\to 1}\qquad m_2\mathbf{a}_2=\mathbf{F}_{1\to 2}$$
$$\mathbf{a}=\mathbf{a}_2-\mathbf{a}_1=\dfrac{\mathbf{F}_{1\to
2}}{m_2}-\dfrac{\mathbf{F}_{2\to 1}}{m_1}=\dfrac{\mathbf{F}_{1\to 2}}{m_2}+\dfrac{\mathbf{F}_{1\to 2}}{m_1}=\dfrac{\mathbf{F}_{1\to 2}}{\mu}$$
avec $\dfrac{1}{\mu}=\dfrac{1}{m_1}+\dfrac{1}{m_2}$, $\mu$ appelé \textbf{masse réduite}
$$\mathbf{a}=\mathbf{a}_2-\mathbf{a}_1=\dfrac{d^2\mathbf{OM}_2}{dt^2}-\dfrac{d^2\mathbf{OM}_1}{dt^2}=\dfrac{d^2\mathbf{M}_1\mathbf{M}_2}{dt^2}$$
Soit $P$ appelé \textbf{mobile fictif} et défini par
$$\mathbf{GP}=\mathbf{M}_1\mathbf{M}_2=r\mathbf{e}_r$$
La relation $\mu\,\mathbf{a}=\mathbf{F}_{1\to 2}$ peut donc être considérée comme le PFD appliqué dans le référentiel barycentrique
($\mathbf{a}=\mathbf{a}^*$ et dérivation indifférente) à un mobile équivalent $P$ de masse $\mu$ et soumis à une force
$\mathbf{F}_{1\to 2}$\\
\\
En général, La force $\mathbf{F}_{1\to 2}$ est conservative, portée par $\mathbf{M}_1\mathbf{M}_2$ et ne dépend que de la distance relative
entre $M_1$ et $M_2$
$$\mathbf{F}_{1\to 2}=F(r)\mathbf{e}_r$$
Tout se passe donc comme si le mobile équivalent $P$ ressentait la
force centrale conservative créée par le centre de force fixe $G$\\

\subsubsection{\'Eléments cinétiques}
\noindent La quantité de mouvement totale dans $\mathcal{R}^*$ est nulle par définition de $\mathcal{R}^*$
$$\mathbf{p}^*=m_1\mathbf{v}_1^*+m_2\mathbf{v}_2^*=0$$
La vitesse du mobile fictif
$$\mathbf{v}=\dfrac{d\mathbf{GP}}{dt}=\dfrac{d\mathbf{M}_1\mathbf{M}_2}{dt}=\dfrac{d\mathbf{OM}_2}{dt}-\dfrac{d\mathbf{OM}_1}{dt}=\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1=\mathbf{v}_2^*-\mathbf{v}_1^*$$
d'où
$$\mathbf{v}_1^*=-\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf{v}\qquad\mathbf{v}_2^*=+\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf{v}$$
d'autre part, les relations $m_1\mathbf{GM}_1+m_2\mathbf{GM}_2=0$ et $\mathbf{GP}=\mathbf{M}_1\mathbf{M}_2=\mathbf{GM}_2-\mathbf{GM}_1$
conduisent à
$$\mathbf{GM}_1=-\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf{GP}\qquad\mathbf{GM}_2=+\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf{GP}$$
calculons alors l'énergie cinétique et le moment cinétique
$$E_c^*=\dfrac{1}{2}m_1\left(-\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf{v}\right)^2+\dfrac{1}{2}m_2\left(+\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf{v}\right)^2=\dfrac{1}{2}\mu\mathbf{v}^2$$


\begin{eqnarray*}
  \mathbf{L}_G^* &=& \mathbf{GM}_1\wedge
m_1\mathbf{v}_1^*+\mathbf{GM}_2\wedge
m_2\mathbf{v}_2^* \\
                 &=& -\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf{GP}\wedge
m_1\left(-\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf{v}\right)+\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf{GP}\wedge
m_2\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf{v}\\
                 &=& \mathbf{GP}\wedge\mu\mathbf{v}
\end{eqnarray*}


\label{dernierepage}

\end{document}