\documentclass[11pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - Mécanique I - Dynamique du point en référentiel galiléen}      %en-tête
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\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}



\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}

\begin{document}

\part*{Dynamique du point en référentiel galiléen}



\noindent Il faut bien comprendre que la 2\ieme\ loi de Newton
rappelée dans le chapitre d'introduction à la mécanique classique
appliquée dans notre « référentiel Oxyz » considéré galiléen suffit
à résoudre « tous les problèmes » analytiquement ou
numériquement. Nous aurions pu en rester là.\\
Tout ce qui suit va faciliter la résolution (et donc souvent la
compréhension) de certains problèmes.\\
Nous venons de voir que la description du mouvement d'un point
peut-être simplifiée avec d'autres systèmes de coordonnées et
d'autres bases.\\
Un peu dans le même état d'esprit, nous allons voir que la 2\ieme\
loi peut s'écrire autrement en faisant apparaître de nouvelles
grandeurs qui peuvent s'avérer très utiles pour certains
problèmes.\\
Enfin nous ferons l'inventaire des forces qui interviennent le
plus couramment dans les problèmes.

\tableofcontents





\section{Lois de Newton}
\begin{description}
    \item[1\iere\ loi ou principe d'inertie] Dans un référentiel galiléen, un point matériel isolé à un
mouvement rectiligne uniforme.
    \item[2\ieme\ loi ou principe fondamental de la dynamique] Dans
un référentiel galiléen $m\mathbf{a}=\mathbf{F}$.
    \item[3\ieme\ loi ou principe de l'action et de la réaction] Les forces d'interaction réciproque qui s'exercent entre
deux points matériels sont opposées et ont pour support la droite
joignant ces points.
\end{description}







\section{Quantité de mouvement}
\subsection{Définition}
\noindent La masse (inertielle) étant invariante en mécanique
clasique on a :
$$m\mathbf{a}=m\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left(m\mathbf{v}\right)$$
La grandeur
$$\boxed{\mathbf{p}=m\mathbf{v}}$$
est appelée \textbf{quantité de mouvement} du point M où $m$ est
la masse de M et $\mathbf{v}$ son vecteur vitesse.



\subsection{Théorème de la quantité de mouvement}
\noindent La 2\ieme ~loi peut alors s'écrire en faisant apparaître
la quantité de mouvement :
$$\boxed{\dfrac{d\mathbf{p}}{dt}=\mathbf{F}}$$
Comme la 2\ieme ~loi, le théorème de la quantité de mouvement
s'applique dans un référentiel galiléen.


\subsection{Conservation de la quantité de mouvement}
\noindent Si $\mathbf{F}=0$ (point isolé ou pseudo-isolé) alors
$$\mathbf{p}=\mathbf{cte}$$
ou encore $\mathbf{v}=\mathbf{cte}$ et l'on retrouve la 1\iere loi
de Newton.\\
\\
Pour un système quelconque aussi complexe soit-il nous verrons que
la 2\ieme ~loi peut s'écrire :
$$\dfrac{d\mathbf{P}}{dt}=\mathbf{F_{ext}}$$
où $\mathbf{P}=\sum_i\mathbf{p}_i$ est la quantité de mouvement
totale du système et $\mathbf{F_{ext}}$ la résultante des
forces extérieures au système.\\
La conservation de la quantité de mouvement permet alors
d'expliquer le recul d'un canon :\\
l'ensemble canon-projectile étant immobile la quantité de
mouvement totale est nulle; la résultante des forces extérieures
s'exerçant sur l'ensemble canon-projectile étant nulle, la
quantité de mouvement se conserve, elle reste nulle; donc si le
projectile part d'un côté, il faut que le canon parte à l'opposé
pour que la quantité de mouvement totale reste nulle.\\
Les avions à réaction et les fusées fonctionnent aussi sur ce
principe : du gaz est éjecté d'un côté pour propulser l'avion ou
la fusée de l'autre côté.









\section{Puissance, travail et énergie cinétique}
\subsection{Définitions}
\noindent Multiplions scalairement la 2\ieme ~loi de Newton par
$\mathbf{v}$ :
$$m\mathbf{a}.\mathbf{v}=\mathbf{F}.\mathbf{v}$$
$\mathbf{a}.\mathbf{v}=\dfrac{dv_x}{dt}v_x+\dfrac{dv_y}{dt}v_y+\dfrac{dv_z}{dt}v_z=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v_x^2}{2}\right)+\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v_y^2}{2}\right)+\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v_z^2}{2}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v^2}{2}\right)$,
donc
$$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{2}mv^2\right)=\mathbf{F}.\mathbf{v}$$
ou encore
$$d\left(\dfrac{1}{2}mv^2\right)=\mathbf{F}.\mathbf{v}dt=\mathbf{F}.d\mathbf{OM}$$
$$\boxed{\mathcal{P}=\mathbf{F}.\mathbf{v}}$$
est la \textbf{puissance} de la résultante des forces $\mathbf{F}$
qui s'exercent sur M où $\mathbf{v}$ est la vitesse de M.
$$\boxed{\delta W=\mathbf{F}.d\mathbf{OM}=\mathbf{F}.\mathbf{v}dt=\mathcal{P}(t)dt}$$
est le \textbf{travail élémentaire} de la résultante des forces
$\mathbf{F}$ qui s'exercent sur M où $d\mathbf{OM}$ est le
déplacement élémentaire de M.\\
\\
Le \textbf{travail} $W$ entre deux instants $t_1$ et $t_2$ s'écrit
$$\boxed{W=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{P}(t)dt=\int_{M_1}^{M_2}\mathbf{F}.d\mathbf{OM}}$$
Enfin
$$\boxed{E_c=\dfrac{1}{2}mv^2}$$
est l'\textbf{énergie cinétique} de M où $m$ est la masse de M et
$\mathbf{v}$ sa vitesse.



\subsection{Théorème de la puissance cinétique}
\noindent D'après ce qui précède, on a
$$\boxed{\dfrac{dE_c}{dt}=\mathcal{P}}$$
Dans un référentiel galiléen, la puissance de la résultante des
forces exercées sur M est égale à la dérivée par rapport au temps
de son énergie cinétique.



\subsection{Théorème de l'énergie cinétique}
\noindent Toujours d'après ce qui précède, on a
$$dE_c=\delta W$$
qui constitue la forme différentielle du théorème de l'énergie
cinétique. En intégrant entre deux instants $t_1$ et $t_2$
$$\boxed{\Delta E_c=E_c(t_2)-E_c(t_1)=W=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{P}(t)dt=\int_{M_1}^{M_2}\mathbf{F}.d\mathbf{OM}}$$
Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique de
M entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est égale au travail de la
résultante des forces qui s'exercent sur M entre ces deux
instants.\\
Attention : en général $W\not=W(t_2)-W(t_1)$.

\subsection{L'énergie cinétique se conserve-t'elle ?}
\noindent Si $\mathbf{F}=0$ (point isolé ou pseudo-isolé) alors
$\mathcal{P}=0$ et  $E_c=cte$.\\
\\
Contrairement à la conservation de la quantité de mouvement qui
reste valable pour les systèmes, la conservation de l'énergie
cinétique n'est valable que pour le point; celle-ci est par
exemple mise en défaut sur l'exemple du système canon-projectile.\\
\\
Nous verrons que pour un système, le théorème de la puissance
cinétique s'écrit

$$\dfrac{dE_c}{dt}=\mathcal{P}_{int}+\mathcal{P}_{ext}$$
où $E_c$ est l'énergie cinétique totale du système, $\mathcal{P}_{ext}$ la puissance des forces extérieures qui s'exercent sur le système et
$\mathcal{P}_{int}$ la puissance des forces intérieures qui s'exercent sur le système. C'est justement la présence de $\mathcal{P}_{int}$ qui
est à l'origine de la non conservation de l'énergie cinétique.




\section{Forces}
\subsection{Force de pesanteur - Chute libre}
\noindent Soit un projectile de masse $m$ lancé avec une vitesse
initiale
$\mathbf{v}_0$ et soumis uniquement à son poids.\\
\begin{description}
    \item[Système étudié :] projectile de masse $m$ assimilable à un
    point.
    \item[Référentiel :] référentiel d'observation (terrestre)
    supposé galiléen.
    \item[Bilan des forces :] le poids $\mathbf{P}=m\mathbf{g}$
    \item[PFD :] $m\mathbf{a}=m\mathbf{g}$
    \item[Projection :] il s'agit de choisir le paramétrage le plus
    approprié au problème; les coordonnées cartésiennes avec un
    axe colinéaire à $\mathbf{g}$ sont, pour la chute libre, les
    plus appropriées.
\end{description}%
\psfrag{O}{$O$}\psfrag{x}{$x$}\psfrag{z}{$z$}\psfrag{v0}{$\vec{v}_0$}\psfrag{alpha}{$\alpha$}\psfrag{g}{$\vec{g}$}\graphique{width=9cm}{chute_libre}
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      a_x=0\\
      a_y=0\\
      a_z=-g
    \end{array}
  \right.\quad
  \left\lbrace
    \begin{array}{l}
      v_x=v_0\cos\alpha\\
      v_y=0\\
      v_z=-gt+v_0\sin\alpha
    \end{array}
  \right.\quad
  \left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x=v_0\cos\alpha\,t\\
      y=0\\
      z=-\dfrac{1}{2}gt^2+v_0\sin\alpha\,t
    \end{array}
  \right. $$%
Pour trouver l'équation de la trajectoire, il suffit d'éliminer
$t$ :
$$t=\dfrac{x}{v_0\cos\alpha}\qquad
z=-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2+\tan\alpha\,x$$%
Pour trouver la portée, il faut résoudre $z=0$ :
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x=0\\
      x=\dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}\ maximum\ pour\ \alpha=\dfrac{\pi}{4}\\
    \end{array}
  \right.$$
Pour trouver la flêche, il faut résoudre $v_z=0$ :
$$t=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}\qquad
  \left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x=\dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{2g}\\
      x=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\\
    \end{array}
  \right.$$
Le point ($x_C$,0,$z_C$) est atteint par le projectile pour une
vitesse $v_0$ donnée si $x_C$ et $z_C$ vérifient
$$z_C=-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x_C^2+\tan\alpha\,x_C$$
ou encore, si $\alpha$ est solution de l'équation
$$-\dfrac{gx_C^2}{2v_0^2}\tan^2\alpha+x_C\tan\alpha-\dfrac{gx_C^2}{2v_0^2}-z_C=0$$
c'est-à-dire si
$$\Delta=x_C^2-4\dfrac{gx_C^2}{2v_0^2}(\dfrac{gx_C^2}{2v_0^2}+z_C)\geq
0$$%
Les points accessibles du plan (Oxz) sont donc situés sous la
\textbf{parabole de sûreté} d'équation
$$z=-\dfrac{g}{2v_0^2}x^2+\dfrac{v_0^2}{2g}$$


\subsection{Force de frottement dans un fluide}
\subsubsection{Chute libre avec frottement « en $v$ »}
\noindent Il faut rajouter la force $-k\mathbf{v}$%
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      a_x=-\dfrac{k}{m}v_x=\dfrac{dv_x}{dt}\\
      a_z=-g-\dfrac{k}{m}v_z=\dfrac{dv_z}{dt}
    \end{array}
  \right. $$%
On pose $\lambda=\dfrac{k}{m}$ et on intègre (pour $v_z$
changement de variable $u=g+\lambda v_z$)
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      \dfrac{dv_x}{v_x}=-\lambda dt\\
      \dfrac{\lambda dv_z}{g+\lambda v_z}=-\lambda dt
    \end{array}
  \right.
  \left\lbrace
    \begin{array}{l}
      \ln\left(\dfrac{v_x}{v_0\cos\alpha}\right)=-\lambda(t-0)\\
      \ln\left(\dfrac{g+\lambda v_z}{g+\lambda
      v_0\sin\alpha}\right)=-\lambda(t-0)
    \end{array}
  \right.$$
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      v_x=(v_0\cos\alpha)\exp(-\lambda t)\\
      v_z=(\dfrac{g}{\lambda}+v_0\sin\alpha)\exp(-\lambda t)-\dfrac{g}{\lambda}
    \end{array}
  \right.$$
Pour $v_z$ on aurait pu résoudre une équation différentielle avec
second membre
$$\dfrac{dv_z}{dt}+\lambda v_z=-g$$
dont la solution est la somme solution générale de l'équation
homogène sans second membre + solution particulière de l'équation
avec second membre (ne marche que pour les équations
différentielles linéaires)
$$v_z=C\exp(-\lambda t)-\dfrac{g}{\lambda}$$
On utilise les conditions initiales (sur la somme solution
générale de l'équation homogène sans second membre + solution
particulière de l'équation avec second membre)
$$v_z(t=0)=C-\dfrac{g}{\lambda}=v_0\sin\alpha$$
et on retrouve le même résultat.\\
\\
On intègre une 2\ieme fois pour $x$ et $z$
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x=-\dfrac{v_0\cos\alpha}{\lambda}\exp(-\lambda t)+A\\
      z=-\dfrac{(\dfrac{g}{\lambda}+v_0\sin\alpha)}{\lambda}\exp(-\lambda
      t)-\dfrac{g}{\lambda}t+B
    \end{array}
  \right.$$
Avec les conditions initiales $x=0$ et $z=0$, on a finalement
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x=\dfrac{v_0\cos\alpha}{\lambda}(1-\exp(-\lambda t))\\
      z=\dfrac{(\dfrac{g}{\lambda}+v_0\sin\alpha)}{\lambda}(1-\exp(-\lambda
      t))-\dfrac{g}{\lambda}t
    \end{array}
  \right.$$
\\
Lorsque $t\to\infty$
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x\to\dfrac{v_0\cos\alpha}{\lambda}\quad (assymptote)\\
      z\to-\infty
    \end{array}
  \right.\quad\ et\quad
  \left\lbrace
    \begin{array}{l}
      v_x\to 0\\
      v_z\to-\dfrac{g}{\lambda}=-\dfrac{mg}{k}=v_{lim}
    \end{array}
  \right.$$
Pour que la vitesse limite soit atteinte, il ne faut pas que le
projectile atteigne trop vite le sol.\\
La vitesse limite est en fait la solution particulière de
l'équation
$$m\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}+k\mathbf{v}=m\mathbf{g}$$
En effet lorsque la vitesse limite est atteinte
$\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=0$ et
$$\mathbf{v}_{lim}=\dfrac{m\mathbf{g}}{k}$$

\subsubsection{Chute libre avec frottement « en $v^2$ »}
$$m\mathbf{a}=m\mathbf{g}-kv\mathbf{v}$$
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
     m\dfrac{dv_x}{dt}=-k\sqrt{v_x^2+v_z^2}\,v_x\\
     m\dfrac{dv_z}{dt}=-mg-k\sqrt{v_x^2+v_z^2}\,v_z
    \end{array}
  \right.$$
Ce système d'équations différentielles couplées n'admet pas de
solution analytique (résolution numérique) sauf dans le cas
particulier du mouvement vertical :
$$m\dfrac{dv_z}{dt}=-mg-k\sqrt{v_z^2}\,v_z$$

\subsection{Tension d'un fil}


\psfrag{A}{$A$}\psfrag{l}{$l$} \graphique{height=5.5cm}{tension_fil}
Un fil est suspendu par l'une de ses extrémités à un support.\\
A l'équilibre, la partie supérieure au point A exerce une force qui compense le poids de la partie inférieure de masse $m(l-z)/l$ :
$$T+mg(l-z)/l=0$$
d'où
$$T=-mg(l-z)/l$$
La tension est bien dirigée vers le haut.\\
\\
Pour $z=l$, $T=0$ et pour $z=0$, $T=-mg$.\\
\\
On accroche en A un objet de masse $m'$ : \\
$$T+mg(l-z)/l+m'g=0$$
Pour $z=l$, $T=-m'g$.\\
\\
Pour un \textbf{fil idéal} de masse nulle, la tension vaut
$T=-m'g$ en tout point du fil.\\
\\
Une \textbf{poulie idéale} ne modifie pas la tension (en norme)
d'un fil idéal. La tension (en norme) est donc la même de chaque
côté de la poulie.



\subsection{Force de rappel élastique}
\psfrag{l=l0}{$l=l_0$}\psfrag{l>l0}{$l>l_0$}\psfrag{l<l0}{$l<l_0$}\psfrag{T}{$\vec{T}$}\graphique{width=9cm}{ressort}%
La force exercée par le ressort est proportionnel à l'allongement $X=l-l_0$ :
$$\|T\|=k|l-l_0|$$
$k$ est la constante de raideur du ressort ($N.m^{-1}$) et $l_0$
la longueur à vide.\\[0.5cm]
Si l'allongement est nul, alors $T=0$.\\[0.5cm]
Si l'allongement est positif (ressort étiré) alors la tension est
orientée selon $-\mathbf{e}_X$.\\[0.5cm]
Si l'allongement est négatif (ressort comprimé) alors la tension
est orientée selon $\mathbf{e}_X$.\\[0.5cm]
Dans tous les cas, elle peut s'exprimer
$$\mathbf{T}=-kX\mathbf{e}_X$$





\subsection{Force de liaison}
\noindent La réaction du support est la force sans laquelle le
système étudié « s'enfoncerait dans le support » ! \\
Elle est normale au support lorsqu'il n'y a pas de
frottement.\\
Lorsqu'il y a des frottements, il existe une composante
tangentielle.%
\psfrag{R}{$\vec{R}$}\psfrag{Rn}{$\vec{R}_\bot$}\psfrag{Rt}{$\vec{R}_\|$}\graphique{width=6.5cm}{reaction}

\label{dernierepage}


\end{document}
\psfrag{A}{$A$}\psfrag{l}{$l$}
