\documentclass[11pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article} \setlength{\topmargin}{-55pt}% \setlength{\oddsidemargin}{-45pt}% \setlength{\textwidth}{790pt}% \setlength{\textheight}{500pt}% \setlength{\headsep}{20pt}% \setlength{\columnseprule}{0.5pt}% \setlength{\columnsep}{20pt}% \usepackage[latin1]{inputenc} % accents 8 bits dans le fichier \usepackage[T1]{fontenc} % accents codés dans la fonte \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips,final]{graphics} \usepackage{graphicx} \usepackage[ec]{aeguill} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{picins} \usepackage{psfrag} \lhead{MPSI - Mécanique I - Dynamique du point en référentiel galiléen} %en-tête \chead{}% \rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}% \lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007}}% \cfoot{}% \rfoot{}% \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt} \pagestyle{fancy} \newcommand{\cadre}[1] {\begin{center}% \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}% \end{center}} \newcommand{\graphique}[2]{ \begin{center} \includegraphics[#1]{#2} \end{center} } \begin{document} \part*{Dynamique du point en référentiel galiléen} \noindent Il faut bien comprendre que la 2\ieme\ loi de Newton rappelée dans le chapitre d'introduction à la mécanique classique appliquée dans notre « référentiel Oxyz » considéré galiléen suffit à résoudre « tous les problèmes » analytiquement ou numériquement. Nous aurions pu en rester là.\\ Tout ce qui suit va faciliter la résolution (et donc souvent la compréhension) de certains problèmes.\\ Nous venons de voir que la description du mouvement d'un point peut-être simplifiée avec d'autres systèmes de coordonnées et d'autres bases.\\ Un peu dans le même état d'esprit, nous allons voir que la 2\ieme\ loi peut s'écrire autrement en faisant apparaître de nouvelles grandeurs qui peuvent s'avérer très utiles pour certains problèmes.\\ Enfin nous ferons l'inventaire des forces qui interviennent le plus couramment dans les problèmes. \tableofcontents \section{Lois de Newton} \begin{description} \item[1\iere\ loi ou principe d'inertie] Dans un référentiel galiléen, un point matériel isolé à un mouvement rectiligne uniforme. \item[2\ieme\ loi ou principe fondamental de la dynamique] Dans un référentiel galiléen $m\mathbf{a}=\mathbf{F}$. \item[3\ieme\ loi ou principe de l'action et de la réaction] Les forces d'interaction réciproque qui s'exercent entre deux points matériels sont opposées et ont pour support la droite joignant ces points. \end{description} \section{Quantité de mouvement} \subsection{Définition} \noindent La masse (inertielle) étant invariante en mécanique clasique on a : $$m\mathbf{a}=m\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left(m\mathbf{v}\right)$$ La grandeur $$\boxed{\mathbf{p}=m\mathbf{v}}$$ est appelée \textbf{quantité de mouvement} du point M où $m$ est la masse de M et $\mathbf{v}$ son vecteur vitesse. \subsection{Théorème de la quantité de mouvement} \noindent La 2\ieme ~loi peut alors s'écrire en faisant apparaître la quantité de mouvement : $$\boxed{\dfrac{d\mathbf{p}}{dt}=\mathbf{F}}$$ Comme la 2\ieme ~loi, le théorème de la quantité de mouvement s'applique dans un référentiel galiléen. \subsection{Conservation de la quantité de mouvement} \noindent Si $\mathbf{F}=0$ (point isolé ou pseudo-isolé) alors $$\mathbf{p}=\mathbf{cte}$$ ou encore $\mathbf{v}=\mathbf{cte}$ et l'on retrouve la 1\iere loi de Newton.\\ \\ Pour un système quelconque aussi complexe soit-il nous verrons que la 2\ieme ~loi peut s'écrire : $$\dfrac{d\mathbf{P}}{dt}=\mathbf{F_{ext}}$$ où $\mathbf{P}=\sum_i\mathbf{p}_i$ est la quantité de mouvement totale du système et $\mathbf{F_{ext}}$ la résultante des forces extérieures au système.\\ La conservation de la quantité de mouvement permet alors d'expliquer le recul d'un canon :\\ l'ensemble canon-projectile étant immobile la quantité de mouvement totale est nulle; la résultante des forces extérieures s'exerçant sur l'ensemble canon-projectile étant nulle, la quantité de mouvement se conserve, elle reste nulle; donc si le projectile part d'un côté, il faut que le canon parte à l'opposé pour que la quantité de mouvement totale reste nulle.\\ Les avions à réaction et les fusées fonctionnent aussi sur ce principe : du gaz est éjecté d'un côté pour propulser l'avion ou la fusée de l'autre côté. \section{Puissance, travail et énergie cinétique} \subsection{Définitions} \noindent Multiplions scalairement la 2\ieme ~loi de Newton par $\mathbf{v}$ : $$m\mathbf{a}.\mathbf{v}=\mathbf{F}.\mathbf{v}$$ $\mathbf{a}.\mathbf{v}=\dfrac{dv_x}{dt}v_x+\dfrac{dv_y}{dt}v_y+\dfrac{dv_z}{dt}v_z=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v_x^2}{2}\right)+\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v_y^2}{2}\right)+\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v_z^2}{2}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v^2}{2}\right)$, donc $$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{2}mv^2\right)=\mathbf{F}.\mathbf{v}$$ ou encore $$d\left(\dfrac{1}{2}mv^2\right)=\mathbf{F}.\mathbf{v}dt=\mathbf{F}.d\mathbf{OM}$$ $$\boxed{\mathcal{P}=\mathbf{F}.\mathbf{v}}$$ est la \textbf{puissance} de la résultante des forces $\mathbf{F}$ qui s'exercent sur M où $\mathbf{v}$ est la vitesse de M. $$\boxed{\delta W=\mathbf{F}.d\mathbf{OM}=\mathbf{F}.\mathbf{v}dt=\mathcal{P}(t)dt}$$ est le \textbf{travail élémentaire} de la résultante des forces $\mathbf{F}$ qui s'exercent sur M où $d\mathbf{OM}$ est le déplacement élémentaire de M.\\ \\ Le \textbf{travail} $W$ entre deux instants $t_1$ et $t_2$ s'écrit $$\boxed{W=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{P}(t)dt=\int_{M_1}^{M_2}\mathbf{F}.d\mathbf{OM}}$$ Enfin $$\boxed{E_c=\dfrac{1}{2}mv^2}$$ est l'\textbf{énergie cinétique} de M où $m$ est la masse de M et $\mathbf{v}$ sa vitesse. \subsection{Théorème de la puissance cinétique} \noindent D'après ce qui précède, on a $$\boxed{\dfrac{dE_c}{dt}=\mathcal{P}}$$ Dans un référentiel galiléen, la puissance de la résultante des forces exercées sur M est égale à la dérivée par rapport au temps de son énergie cinétique. \subsection{Théorème de l'énergie cinétique} \noindent Toujours d'après ce qui précède, on a $$dE_c=\delta W$$ qui constitue la forme différentielle du théorème de l'énergie cinétique. En intégrant entre deux instants $t_1$ et $t_2$ $$\boxed{\Delta E_c=E_c(t_2)-E_c(t_1)=W=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{P}(t)dt=\int_{M_1}^{M_2}\mathbf{F}.d\mathbf{OM}}$$ Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique de M entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est égale au travail de la résultante des forces qui s'exercent sur M entre ces deux instants.\\ Attention : en général $W\not=W(t_2)-W(t_1)$. \subsection{L'énergie cinétique se conserve-t'elle ?} \noindent Si $\mathbf{F}=0$ (point isolé ou pseudo-isolé) alors $\mathcal{P}=0$ et $E_c=cte$.\\ \\ Contrairement à la conservation de la quantité de mouvement qui reste valable pour les systèmes, la conservation de l'énergie cinétique n'est valable que pour le point; celle-ci est par exemple mise en défaut sur l'exemple du système canon-projectile.\\ \\ Nous verrons que pour un système, le théorème de la puissance cinétique s'écrit $$\dfrac{dE_c}{dt}=\mathcal{P}_{int}+\mathcal{P}_{ext}$$ où $E_c$ est l'énergie cinétique totale du système, $\mathcal{P}_{ext}$ la puissance des forces extérieures qui s'exercent sur le système et $\mathcal{P}_{int}$ la puissance des forces intérieures qui s'exercent sur le système. C'est justement la présence de $\mathcal{P}_{int}$ qui est à l'origine de la non conservation de l'énergie cinétique. \section{Forces} \subsection{Force de pesanteur - Chute libre} \noindent Soit un projectile de masse $m$ lancé avec une vitesse initiale $\mathbf{v}_0$ et soumis uniquement à son poids.\\ \begin{description} \item[Système étudié :] projectile de masse $m$ assimilable à un point. \item[Référentiel :] référentiel d'observation (terrestre) supposé galiléen. \item[Bilan des forces :] le poids $\mathbf{P}=m\mathbf{g}$ \item[PFD :] $m\mathbf{a}=m\mathbf{g}$ \item[Projection :] il s'agit de choisir le paramétrage le plus approprié au problème; les coordonnées cartésiennes avec un axe colinéaire à $\mathbf{g}$ sont, pour la chute libre, les plus appropriées. \end{description}% \psfrag{O}{$O$}\psfrag{x}{$x$}\psfrag{z}{$z$}\psfrag{v0}{$\vec{v}_0$}\psfrag{alpha}{$\alpha$}\psfrag{g}{$\vec{g}$}\graphique{width=9cm}{chute_libre} $$\left\lbrace \begin{array}{l} a_x=0\\ a_y=0\\ a_z=-g \end{array} \right.\quad \left\lbrace \begin{array}{l} v_x=v_0\cos\alpha\\ v_y=0\\ v_z=-gt+v_0\sin\alpha \end{array} \right.\quad \left\lbrace \begin{array}{l} x=v_0\cos\alpha\,t\\ y=0\\ z=-\dfrac{1}{2}gt^2+v_0\sin\alpha\,t \end{array} \right. $$% Pour trouver l'équation de la trajectoire, il suffit d'éliminer $t$ : $$t=\dfrac{x}{v_0\cos\alpha}\qquad z=-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2+\tan\alpha\,x$$% Pour trouver la portée, il faut résoudre $z=0$ : $$\left\lbrace \begin{array}{l} x=0\\ x=\dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}\ maximum\ pour\ \alpha=\dfrac{\pi}{4}\\ \end{array} \right.$$ Pour trouver la flêche, il faut résoudre $v_z=0$ : $$t=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}\qquad \left\lbrace \begin{array}{l} x=\dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{2g}\\ x=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\\ \end{array} \right.$$ Le point ($x_C$,0,$z_C$) est atteint par le projectile pour une vitesse $v_0$ donnée si $x_C$ et $z_C$ vérifient $$z_C=-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x_C^2+\tan\alpha\,x_C$$ ou encore, si $\alpha$ est solution de l'équation $$-\dfrac{gx_C^2}{2v_0^2}\tan^2\alpha+x_C\tan\alpha-\dfrac{gx_C^2}{2v_0^2}-z_C=0$$ c'est-à-dire si $$\Delta=x_C^2-4\dfrac{gx_C^2}{2v_0^2}(\dfrac{gx_C^2}{2v_0^2}+z_C)\geq 0$$% Les points accessibles du plan (Oxz) sont donc situés sous la \textbf{parabole de sûreté} d'équation $$z=-\dfrac{g}{2v_0^2}x^2+\dfrac{v_0^2}{2g}$$ \subsection{Force de frottement dans un fluide} \subsubsection{Chute libre avec frottement « en $v$ »} \noindent Il faut rajouter la force $-k\mathbf{v}$% $$\left\lbrace \begin{array}{l} a_x=-\dfrac{k}{m}v_x=\dfrac{dv_x}{dt}\\ a_z=-g-\dfrac{k}{m}v_z=\dfrac{dv_z}{dt} \end{array} \right. $$% On pose $\lambda=\dfrac{k}{m}$ et on intègre (pour $v_z$ changement de variable $u=g+\lambda v_z$) $$\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{dv_x}{v_x}=-\lambda dt\\ \dfrac{\lambda dv_z}{g+\lambda v_z}=-\lambda dt \end{array} \right. \left\lbrace \begin{array}{l} \ln\left(\dfrac{v_x}{v_0\cos\alpha}\right)=-\lambda(t-0)\\ \ln\left(\dfrac{g+\lambda v_z}{g+\lambda v_0\sin\alpha}\right)=-\lambda(t-0) \end{array} \right.$$ $$\left\lbrace \begin{array}{l} v_x=(v_0\cos\alpha)\exp(-\lambda t)\\ v_z=(\dfrac{g}{\lambda}+v_0\sin\alpha)\exp(-\lambda t)-\dfrac{g}{\lambda} \end{array} \right.$$ Pour $v_z$ on aurait pu résoudre une équation différentielle avec second membre $$\dfrac{dv_z}{dt}+\lambda v_z=-g$$ dont la solution est la somme solution générale de l'équation homogène sans second membre + solution particulière de l'équation avec second membre (ne marche que pour les équations différentielles linéaires) $$v_z=C\exp(-\lambda t)-\dfrac{g}{\lambda}$$ On utilise les conditions initiales (sur la somme solution générale de l'équation homogène sans second membre + solution particulière de l'équation avec second membre) $$v_z(t=0)=C-\dfrac{g}{\lambda}=v_0\sin\alpha$$ et on retrouve le même résultat.\\ \\ On intègre une 2\ieme fois pour $x$ et $z$ $$\left\lbrace \begin{array}{l} x=-\dfrac{v_0\cos\alpha}{\lambda}\exp(-\lambda t)+A\\ z=-\dfrac{(\dfrac{g}{\lambda}+v_0\sin\alpha)}{\lambda}\exp(-\lambda t)-\dfrac{g}{\lambda}t+B \end{array} \right.$$ Avec les conditions initiales $x=0$ et $z=0$, on a finalement $$\left\lbrace \begin{array}{l} x=\dfrac{v_0\cos\alpha}{\lambda}(1-\exp(-\lambda t))\\ z=\dfrac{(\dfrac{g}{\lambda}+v_0\sin\alpha)}{\lambda}(1-\exp(-\lambda t))-\dfrac{g}{\lambda}t \end{array} \right.$$ \\ Lorsque $t\to\infty$ $$\left\lbrace \begin{array}{l} x\to\dfrac{v_0\cos\alpha}{\lambda}\quad (assymptote)\\ z\to-\infty \end{array} \right.\quad\ et\quad \left\lbrace \begin{array}{l} v_x\to 0\\ v_z\to-\dfrac{g}{\lambda}=-\dfrac{mg}{k}=v_{lim} \end{array} \right.$$ Pour que la vitesse limite soit atteinte, il ne faut pas que le projectile atteigne trop vite le sol.\\ La vitesse limite est en fait la solution particulière de l'équation $$m\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}+k\mathbf{v}=m\mathbf{g}$$ En effet lorsque la vitesse limite est atteinte $\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=0$ et $$\mathbf{v}_{lim}=\dfrac{m\mathbf{g}}{k}$$ \subsubsection{Chute libre avec frottement « en $v^2$ »} $$m\mathbf{a}=m\mathbf{g}-kv\mathbf{v}$$ $$\left\lbrace \begin{array}{l} m\dfrac{dv_x}{dt}=-k\sqrt{v_x^2+v_z^2}\,v_x\\ m\dfrac{dv_z}{dt}=-mg-k\sqrt{v_x^2+v_z^2}\,v_z \end{array} \right.$$ Ce système d'équations différentielles couplées n'admet pas de solution analytique (résolution numérique) sauf dans le cas particulier du mouvement vertical : $$m\dfrac{dv_z}{dt}=-mg-k\sqrt{v_z^2}\,v_z$$ \subsection{Tension d'un fil} \psfrag{A}{$A$}\psfrag{l}{$l$} \graphique{height=5.5cm}{tension_fil} Un fil est suspendu par l'une de ses extrémités à un support.\\ A l'équilibre, la partie supérieure au point A exerce une force qui compense le poids de la partie inférieure de masse $m(l-z)/l$ : $$T+mg(l-z)/l=0$$ d'où $$T=-mg(l-z)/l$$ La tension est bien dirigée vers le haut.\\ \\ Pour $z=l$, $T=0$ et pour $z=0$, $T=-mg$.\\ \\ On accroche en A un objet de masse $m'$ : \\ $$T+mg(l-z)/l+m'g=0$$ Pour $z=l$, $T=-m'g$.\\ \\ Pour un \textbf{fil idéal} de masse nulle, la tension vaut $T=-m'g$ en tout point du fil.\\ \\ Une \textbf{poulie idéale} ne modifie pas la tension (en norme) d'un fil idéal. La tension (en norme) est donc la même de chaque côté de la poulie. \subsection{Force de rappel élastique} \psfrag{l=l0}{$l=l_0$}\psfrag{l>l0}{$l>l_0$}\psfrag{l