\documentclass[11pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - Mécanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : février 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcounter{num}

\newcommand{\exo}[2]
{\addtocounter{num}{1}%
 \vspace{5mm}%
 \noindent\textbf{Exercice \thenum. #1.}\\%
 #2}


\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}


\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}



\begin{document}



\part*{Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives}

\tableofcontents

\section{Forces centrales conservatives}
\subsection{Exemple de la force de gravitation}
\noindent Soient $M_1$ de masse $m_1$ et $M_2$ de masse $m_2$
$$\mathbf{F}_{1\to 2}=-\mathbf{F}_{2\to
1}=-\mathcal{G}\dfrac{m_1m_2}{(M_1M_2)^2}\dfrac{\mathbf{M}_1\mathbf{M}_2}{M_1M_2}$$
avec $\mathcal{G}=6,67.10^{-11}\,kg^{-1}.\,m^3.\,s^{-2}$\\
\\
On supposera que $M$ de masse $m$ est attiré par un centre de force fixe $O$ de masse $m'\gg m$
$$\mathbf{F}=-\mathcal{G}\dfrac{m'm}{r^2}\,\mathbf{e}_r$$
$$\delta W=\mathbf{F}.d\mathbf{OM}=-\dfrac{A}{r^2}\,\mathbf{e}_r.(dr\,\mathbf{e}_r+r\,d\mathbf{e}_r)=-A\dfrac{dr}{r^2}=-dE_p$$
avec $E_p=-\dfrac{A}{r}$ en prenant $E_p(\infty)=0$

\subsection{Exemple de la force électrostatique}
\noindent Soient $M_1$ de charge $q_1$ et $M_2$ de charge $q_2$
$$\mathbf{F}_{1\to 2}=-\mathbf{F}_{2\to
1}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1q_2}{(M_1M_2)^2}\dfrac{\mathbf{M}_1\mathbf{M}_2}{M_1M_2}$$
avec $\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}=9.10^9\,S.I.$\\
\\
On supposera que $M$ de charge $q$ et de masse $m$ est attiré ou repoussé par un centre de force fixe $O$ de charge $q'$ et de masse $m'\gg m$
$$\mathbf{F}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q'q}{r^2}\,\mathbf{e}_r$$
$$\delta W=\mathbf{F}.d\mathbf{OM}=\dfrac{B}{r^2}\,\mathbf{e}_r.(dr\,\mathbf{e}_r+r\,d\mathbf{e}_r)=B\dfrac{dr}{r^2}=-dE_p$$
avec $E_p=\dfrac{B}{r}$ en prenant $E_p(\infty)=0$\\
\\
\emph{remarque} : si l'on compare les forces de gravitation et électrostatique qui s'exercent par exemple entre deux électrons
$$\dfrac{F_e}{F_g}=\left(\dfrac{e}{m}\right)^2\left(\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0\mathcal{G}}\right)=4,2.10^{42}$$
D'une manière générale, à l'échelle microscopique, les forces de gravitation sont négligeables devant les forces électrostatique.

\subsection{Généralisation}
\noindent Force centrale si
$$\mathbf{F}=F(r)\,\mathbf{e}_r$$
conservative si
$$\delta W=-dE_p$$
Pour les forces de gravitation et électrostatique que l'on appelle interactions newtoniennes
$$ F(r)=\dfrac{k}{r^2}\quad et\quad E_p=\dfrac{k}{r}\quad avec\quad E_p(\infty)=0$$
$k=-\mathcal{G}m'm<0$ pour l'interaction gravitationnelle;\\
\\
$k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q'q$, pour l'interaction électrostatique, négatif si $q'$ et $q$ de signe différent, positif si $q'$ et $q$ de
même signe.



\section{Lois générales de conservation}
\noindent Soit M de masse $m$ et de vitesse $\mathbf{v}$ soumis à un champ de force centrale conservative $\mathbf{F}=F(r)\,\mathbf{e}_r$ créé
par un centre de force O.
\subsection{Conservation du moment cinétique}
\subsubsection{Planéité du mouvement}
$$\dfrac{d\mathbf{L}_O}{dt}=\boldsymbol{\mathcal{M}}_O=\mathbf{OM}\wedge\mathbf{F}=r\,\mathbf{e}_r\wedge
F(r)\,\mathbf{e}_r=0\Rightarrow\mathbf{L}_O=\mathbf{cte}$$ %
Comme $\mathbf{L}_O=\mathbf{OM}\wedge m\mathbf{v}$, $\mathbf{OM}$ et $\mathbf{v}$ restent perpendiculaires à $\mathbf{L}_O=\mathbf{cte}$,
$\mathbf{OM}$ et $\mathbf{v}$ sont donc contenus dans le plan perpendiculaire à $\mathbf{L}_O=\mathbf{cte}$ : le mouvement est plan.

\subsubsection{Intégrale première du mouvement}
\noindent Dans ce plan, choisissons les coordonnées polaires $(r,\theta)$
$$\mathbf{OM}=r\,\mathbf{e}_r\qquad
\mathbf{v}=\dot{r}\,\mathbf{e}_r+r\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta$$
$$\mathbf{L}_O=\mathbf{OM}\wedge
m\mathbf{v}=mr^2\dot{\theta}\,\mathbf{e}_z$$%
comme $\mathbf{L}_O=\mathbf{cte}$
$$\boxed{r^2\dot{\theta}=cte=C}$$
appelé intégrale première du mouvement, C \textbf{constante des aires}

\subsubsection{Loi des aires}
\noindent L'aire balayée pendant $dt$
$$d\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times r\times
rd\theta=\dfrac{1}{2}r^2d\theta$$%
La vitesse aérolaire
$$\dfrac{d\mathcal{A}}{dt}=\dfrac{1}{2}r^2\dot{\theta}=\dfrac{1}{2}C=cte$$
\cadre{Les aires balayées pendant des durées égales sont égales ce qui explique l'accélération de M lorsqu'il se rapproche du centre de force et
son ralentissement lorsqu'il s'en éloigne.}


\subsection{Conservation de l'énergie (mécanique)}
\subsubsection{Intégrale première du mouvement}
\noindent $\mathbf{F}=F(r)\,\mathbf{e}_r$ dérivant d'une énergie potentielle $E_p(r)$, l'énergie mécanique se conserve
$$E_m=\dfrac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)+E_p(r)=cte$$
appelé intégrale première du mouvement

\subsubsection{\'Energie potentielle effective}
$$E_m=\dfrac{1}{2}m\dot{r}^2+\dfrac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2+E_p(r)$$
$\dfrac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2=\dfrac{m}{2r^2}(r^2\dot{\theta})^2=\dfrac{m}{2r^2}C^2$
$$E_m=\dfrac{1}{2}m\dot{r}^2+\dfrac{mC^2}{2r^2}+E_p(r)$$
L'énergie mécanique ne dépend plus que de $\dot{r}$ et $r$ :\\
le terme $\dfrac{1}{2}m\dot{r}^2$ est appelé énergie cinétique radiale\\
\\
le terme $\dfrac{mC^2}{2r^2}+E_p(r)=E_{p,eff}$ est appelé énergie potentielle effective
$$\boxed{E_m=\dfrac{1}{2}m\dot{r}^2+{E_{p}}_{eff}(r)=cte}$$

\subsubsection{\'Etats de diffusion, états liés}
\noindent Le terme cinétique $\dfrac{1}{2}m\dot{r}^2$ étant positif, $E_m=cte$ est la plus grande valeur que puisse prendre ${E_{p}}_{eff}(r)$;
les valeurs de $r$ pour lesquelles
$E_{p,eff}>E_m$ sont donc inaccessibles.\\
\\
Si $r>r_{min}$, on parle d'état de diffusion\\
\\
Si  $r_{min}\leq r\leq r_{max}$, on parle d'état lié\\



\section{Mouvement dans un champ de force centrales newtonien}
\noindent Le mouvement vérifie les propriétés générales du mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (planéité du mouvement, loi
des aires, énergie potentielle effective) avec $F(r)=\dfrac{k}{r^2}$ et $E_p=\dfrac{k}{r}$

\subsection{\'Equation générale de la trajectoire}
\noindent On peut alors montrer (voir TD) que la trajectoire du point M, repéré par ses coordonnées polaires a pour équation (en choisissant Ox
axe de symétrie de la trajectoire)
$$r(\theta)=\dfrac{p}{1+e\cos\theta}$$
On reconnaît l'équation d'une conique\\
\\
si $e>1$, M décrit une hyperbole\\
\\
si $e=1$, M décrit une parabole\\
\\
si $0<e<1$, M décrit une ellipse\\
\\
si $e=0$, M décrit un cercle

\subsection{Interaction répulsive}
$$k>0$$
\psfrag{r}{$r$}\psfrag{Epeff}{$E_{p_{eff}}$}\psfrag{rmin}{$r_{min}$}\psfrag{Em}{$E_m$}
\graphique{width=10cm}{fig1}%
$r>r_{min}$, état de diffusion, M ne peut pas s'approcher du centre de force à une distance inférieure à $r_{min}$, cette
position extrême s'appelle le \textbf{péricentre}.\\
\\
La trajectoire correspondante correspond à une branche d'hyperbole.

\subsection{Interaction attractive}
$$k<0$$
\subsubsection{\'Etat de diffusion}
$$E_m>0$$
\graphique{width=10cm}{fig2}%
$r>r_{min}$, on observe encore un état de diffusion.\\
\\
La trajectoire est encore une branche d'hyperbole.\\
\\
Le cas particulier $E_m=0$ correspond à une trajectoire parabolique.


\subsubsection{\'Etat lié}
$${{E_p}_{eff}}_{min}<E_m<0$$
\psfrag{rmax}{$r_{max}$}
\graphique{width=10cm}{fig3}%
$r_{min}\leq r\leq r_{max}$, état lié, la position de M correspondant à $r_{min}$ est appelée \textbf{péricentre}, celle
correspondant à $r_{max}$ \textbf{apocentre}.\\
\\
La trajectoire est elliptique.\\
\\
Le cas particulier $r_{min}=r_{max}=R$ correspond à une trajectoire circulaire.


\subsection{Mouvements des planètes - Lois de Képler}
\subsubsection{Lois de Képler}
\noindent Ces lois historiques concernent les mouvements des planètes autour du Soleil, elles se généralisent à tous les
mouvements à force gravitationnelle centrale. \\
\\
1\iere loi : les planètes autour du Soleil décrivent des ellipses
dont l'un des foyers est occupé par le Soleil.\\
\\
2\ieme loi : le mouvement d'une planète obéit à la loi des aires; pendant des durées égales $\Delta t$, le rayon vecteur $\mathbf{OM}$ balaye
des aires égales $S=\dfrac{C}{2}\Delta t$ où $C$ est la constante des aires liée à la planète considérée.\\
\\
3\ieme loi :
$$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{\mathcal{G}m'}$$
où $T$ est la période de révolution elliptique de la planète autour du Soleil, $a$ le demi grand-axe de la trajectoire elliptique et $m'=m_S$ la
masse du Soleil; la masse de la planète n'intervient pas.

\subsubsection{Vitesses cosmiques}
\noindent La \textbf{vitesse circulaire} est la vitesse à communiquer initialement à un corps pour qu'il décrive une orbite circulaire de rayon
$a$ autour d'un gros astre de masse $m'$ :
$$E_m=-\dfrac{|k|}{2a}$$
$$\dfrac{1}{2}mv_c^2-\dfrac{|k|}{a}=-\dfrac{|k|}{2a}\Rightarrow
v_c=\sqrt{\dfrac{\mathcal{G}m'}{a}}$$ %
La \textbf{vitesse de libération} est la vitesse à communiquer initialement à un corps pour qu'il échappe à l'attraction d'un gros astre de
masse $m'$ :
$$\dfrac{1}{2}mv_l^2-\dfrac{|k|}{r_0}=0\Rightarrow
v_l=\sqrt{\dfrac{2\mathcal{G}m'}{r_0}}$$

\label{dernierepage}
\end{document}