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\lhead{MPSI - Mécanique I - Introduction à la mécanique classique - Rappels et domaine de validité}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}



\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}


\begin{document}


\part*{Introduction à la mécanique classique - Rappels et domaine de validité}


\tableofcontents


\section{1\iere~loi de Newton ou principe d'inertie}
\cadre{Dans un référentiel galiléen, un point matériel isolé à un
mouvement rectiligne uniforme.} %
Qu'est-ce qu'un \textbf{mouvement rectiligne uniforme}?
\\
\emph{Un mouvement rectiligne uniforme est un mouvement pour
lequel} $\mathbf{v}=\mathbf{cte}$.\\
direction constante $\rightarrow$ rectiligne\\
norme constante $\rightarrow$ uniforme\\
immobilité cas particulier $\mathbf{v}=0$\\
\\
Qu'est-ce qu'un \textbf{point matériel isolé} ? \\
\emph{C'est un point affecté d'une masse qui n'est soumis à aucune
force}.\\
C'est une situation idéale car un objet est toujours soumis à des
forces, ces forces pouvant éventuellement être négligeables ou se
compenser; on parle alors d'objet \textbf{pseudo-isolé}.\\
\\
Qu'est-ce qu'un \textbf{référentiel} ?\\
Un référentiel va nous permettre de répondre aux questions où ? et
quand ? En effet, pour décrire un mouvement, il faut pouvoir
préciser à la fois où se trouve le point et à quel instant il s'y
trouve. Pour préciser où se trouve le point, on utilisera un
\textbf{repère} et pour préciser à quel instant il s'y trouve, on
utilisera une \textbf{horloge} :\\
\centerline{\emph{référentiel = repère + horloge}}\\
\\
Qu'est-ce qu'un référentiel \textbf{galiléen} ?\\
\emph{Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel un point
matériel isolé à un mouvement rectiligne uniforme}.\\
Seule l'expérience pourra nous dire si un référentiel est galiléen
ou pas.



\section{2\ieme~loi de Newton ou principe fondamental de la
dynamique}
\subsection{\'Enoncé}
\noindent Le mouvement est donc modifié par les forces. Un mouvement
est modifié si la direction du vecteur vitesse et/ou sa norme varie
(faire les schémas correspondants) $\mathbf{v}\not=\mathbf{cte}$ ou
encore $\mathbf{a}\not=0$ puisque
$$\mathbf{a}=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}$$
où $d\mathbf{v}=\mathbf{v}(t+dt)-\mathbf{v}(t)$ est la variation
infinitésimale du vecteur vitesse entre les instants $t$ et
$t+dt$.\\
La 2\ieme~loi de Newton est la relation entre la modification du mouvement (accélération) et sa cause (force) : \cadre{Dans
un référentiel galiléen $m\mathbf{a}=\mathbf{F}$.} %
\psfrag{A}{$\vec{v}(t)$} \psfrag{B}{$\vec{v}(t+dt)$}
\psfrag{C}{$\vec{v}(t+dt)-\vec{v}(t)$} \psfrag{D}{$\vec{F}$}
\graphique{}{fig1} %
où $\mathbf{F}$ est la résultante des forces appliquées au point
matériel de masse $m$ dont l'accélération est $\mathbf{a}$.\\
Le principe d'inertie est le cas particulier du principe
fondamental
$$\mathbf{F}=0\Rightarrow\mathbf{a}=0\Rightarrow\mathbf{v}=\mathbf{cte}$$
La masse (inertielle) est donc un coefficient de proportionnalité;
pour $\mathbf{F}$ donnée, la modification du mouvement est
d'autant plus grande que $m$ est petit (il est plus facile de
modifier le mouvement d'un vélo que celui d'un camion !).\\


\subsection{Exploitation}
\subsubsection{Solution analytique}
\noindent \'Etudions le mouvement d'un projectile de masse $m$
lancée avec une vitesse initiale $\mathbf{v}_0$ dans le champ de
pesanteur
terrestre (on négligera les frottements).\\
\underline{Système étudié} : projectile assimilable à un point
matériel de
masse $m$.\\
\underline{Référentiel} : repère Oxyz (classe) supposé galiléen +
horloge (on l'oublie souvent car le temps est universel en
mécanique classique).\\
\underline{Bilan des forces} : poids.\\
\underline{Loi fondamentale} : $m\mathbf{a}=m\mathbf{g}$.\\
\underline{Projection} :%
$$\left|\begin{array}{l}a_x\\a_y\\a_z\end{array}\right.=\left|\begin{array}{l}0\\-g\\0\end{array}\right.$$
ce qui donne après intégration :
$$y=-\frac{g}{2v_{0_x}^2}x^2+\dfrac{v_{0_y}}{v_{0_x}}x$$
C'est une \textbf{solution analytique}, on a une fonction
mathématique qui nous donne tous les points de la trajectoire.\\
Lorsqu'il n'existe pas de solution analytique on a recours à des
méthodes numériques où l'on calcule chaque point de la
trajectoire.


\subsubsection{Solution numérique} %
\noindent cf TP

\subsection{Peut-on résoudre n'importe quel problème ?}
\noindent Les problèmes qui ont une solution analytique sont rares
et correspondent souvent à des situations idéales.\\
La résolution numérique est toujours possible encore faut-il que
la 2\ieme~ loi de Newton puisse s'appliquer au problème.\\
Plusieurs fois dans l'histoire, on a cru trouver des situations
remettant en cause cette loi et plusieurs fois le problème fut
résolu. \\
Exemple : en fait le mouvement d'une planète autour du Soleil
n'est pas vraiment une ellipse mais on peut trouver les
corrections en tenant compte de l'attraction des autres planètes.
A l'époque, on a fait ces calculs et çà marchait sauf pour Uranus.
Le Verrier (1811-1877) eu l'idée d'attribuer la différence
observée à une planète invisible. On calcula la position de cette
planète invisible, on pointa un télescope dans la direction
calculée, la planète était là (Neptune)! Ce fut un grand succès
pour la 2\ieme~ loi.\\
Pendant longtemps on cru que seuls une analyse incomplète ou des
calculs trop lourds pouvaient mettre en défaut la 2\ieme~ loi.\\
Or même en tenant de toutes les forces et avec une capacité de calcul illimitée, il y a des domaines où la 2\ieme~ loi ne
s'applique pas :\\
\cadre{domaine microscopique $\rightarrow$ mécanique quantique\\
domaine $v\simeq c$ $\rightarrow$ relativité}


\section{3\ieme~ loi de Newton ou principe de l'action et de la
réaction}
\subsection{\'Enoncé}
\cadre{Les forces d'interaction réciproque qui s'exercent entre
deux points matériels sont opposées et ont pour support la droite
joignant ces points.}

\subsection{Une conséquence}
\noindent Le principe d'inertie ou la 2\ieme~ loi de Newton s'applique à un point matériel. Pourquoi peut-on l'appliquer à
une planète par exemple ?\\
On découpe la planète en morceaux assez petits pour pouvoir les
considérer comme des points matériels de masse $m_i$ tels que
$\sum_i m_i=m$ masse de la planète. On peut alors appliquer la
2\ieme~ loi à chaque point :\\
$m_i\mathbf{a}_i=$ forces exercées par les autres points (forces
intérieures) + les autres forces (forces extérieures)%
$$m_i\mathbf{a}_i=\sum_{j\not= i}\mathbf{f}_{j\rightarrow i}+\mathbf{f}_{ext\rightarrow
i}$$
$$\sum_i m_i\mathbf{a}_i=\sum_i\sum_{j\not= i}\mathbf{f}_{j\rightarrow i}+\sum_i\mathbf{f}_{ext\rightarrow
i}$$
$$=0+\mathbf{F}_{ext\rightarrow planete}$$
Vérifier pour $i=3$ par exemple.\\
$$\sum_i m_i\mathbf{a}_i=\sum_i m_i\dfrac{d^2\mathbf{OM}_i}{dt^2}=
\dfrac{d^2}{dt^2}\sum_i m_i\mathbf{OM}_i=\dfrac{d^2}{dt^2}
m\mathbf{OG}=m\mathbf{a}(G)$$ %
Quand on assimile un système à un point matériel, on étudie en
fait le mouvement d'un point particulier appelé barycentre ou
centre d'inertie ou centre de gravité et on ne tient compte que
des forces extérieures au système.


\section{conclusion}
\noindent Les trois lois.\\
Domaine de validité de la mécanique classique. \label{dernierepage}


\end{document}