\documentclass[11pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - Mécanique II - Dynamique du point matériel en référentiel galiléen (suite)}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - dernière modification : janvier 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcounter{num}

\newcommand{\exo}[2]
{\addtocounter{num}{1}%
 \vspace{5mm}%
 \noindent\textbf{Exercice \thenum. #1.}\\%
 #2}


\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}


\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}



\begin{document}



\part*{Dynamique du point matériel en référentiel galiléen (suite)}

\tableofcontents

\addtocounter{section}{4}




\section{Moment cinétique}
\noindent Soit, dans un référentiel $\mathcal{R}$, un point matériel M de masse $m$, de vecteur vitesse $\mathbf{v}$ et
$\mathbf{F}$ la résultante des forces appliquées en M.\\
Soit O un autre point de $\mathcal{R}$.

\subsection{Définitions}
\noindent La grandeur
$$\boxed{\mathbf{L}_O=\mathbf{OM}\wedge m\mathbf{v}}$$
est appelée \textbf{moment cinétique en O} du point M.\\
\\
\noindent La grandeur
$$\boxed{\boldsymbol{\mathcal{M}}_O=\mathbf{OM}\wedge\mathbf{F}}$$
est appelée \textbf{moment en O} de la résultante des forces $\mathbf{F}$ appliquée au point M.


\subsection{Théorème du moment cinétique en un point fixe}
\noindent Soit O un point \textbf{fixe} d'un référentiel \textbf{galiléen} $\mathcal{R}$ :
$$\dfrac{d\mathbf{L}_O}{dt}=\dfrac{d\mathbf{OM}}{dt}\wedge
m\mathbf{v}+\mathbf{OM}\wedge
m\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=\mathbf{0}+\mathbf{OM}\wedge m\mathbf{a}$$%
la 2\ieme~loi de Newton donne :
$$\dfrac{d\mathbf{L}_O}{dt}=\mathbf{OM}\wedge \mathbf{F}$$
d'où le théorème du moment cinétique :
$$\boxed{\dfrac{d\mathbf{L}_O}{dt}=\boldsymbol{\mathcal{M}}_O}$$
\cadre{Dans un référentiel galiléen, la dérivée du moment cinétique en un point fixe O par rapport au temps est égale au moment en O de la
résultante des forces qui s'appliquent au point M.}


\subsection{Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe}
\noindent Soit $\Delta$ un axe passant par O, de vecteur directeur $\mathbf{u}$.
\subsubsection{Moment d'une force par rapport à un axe}
\noindent La grandeur
$$\boxed{\mathcal{M}_\Delta=\boldsymbol{\mathcal{M}}_O.\mathbf{u}}$$
est appelée moment par rapport à $\Delta$ de la résultante des
forces $\mathbf{F}$ appliquée au point M.\\
\\
Si $\mathbf{F}$ est parallèle à $\Delta$ alors
$\mathcal{M}_\Delta=(\mathbf{OM}\wedge\mathbf{F}).\mathbf{u}=0$\\
\\
Si $\mathbf{F}$ est perpendiculaire à $\Delta$ alors
$\mathcal{M}_\Delta=\left[\left(\mathbf{OH_1}+\mathbf{H_1H_2}+\mathbf{H_2M}\right)\wedge\mathbf{F}\right].\mathbf{u}=(\mathbf{H}_1\mathbf{H}_2\wedge\mathbf{F}).\mathbf{u}=\pm
H_1H_2.F=\pm
Fd$ %
\psfrag{O}{$O$}\psfrag{M}{$M$}\psfrag{H1}{$H_1$}\psfrag{H2}{$H_2$}\psfrag{u}{$\vec{u}$}\psfrag{F}{$\vec{F}$}\psfrag{d}{$d$}\psfrag{delta}{$\Delta$}

 \graphique{width=13cm}{fig1}

\subsubsection{Moment cinétique par rapport à un axe}
\noindent La grandeur
$$\boxed{L_\Delta=\mathbf{L}_O.\mathbf{u}}$$
est appelée moment cinétique par rapport à $\Delta$ du point M.\\

\subsubsection{Théorème du moment cinétique par rapport à un axe}
\noindent Soit $\Delta$ un axe \textbf{fixe} passant par O, de vecteur directeur $\mathbf{u}$. En projetant le théorème du moment cinétique
suivant $\mathbf{u}$ :
$$\boxed{\dfrac{dL_\Delta}{dt}=\mathcal{M}_\Delta}$$
\cadre{Dans un référentiel galiléen, la dérivée du moment cinétique par rapport à $\Delta$ par rapport au temps est égale au moment par rapport
à $\Delta$ de la résultante des forces qui s'appliquent au point M.}


\label{dernierepage}



\end{document}