\documentclass[11pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - Mécanique II - Oscillateur harmonique - Régime forcé}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\pagestyle{fancy}




\newcounter{num}

\newcommand{\exo}[2]
{\addtocounter{num}{1}%
 \vspace{5mm}%
 \noindent\textbf{Exercice \thenum. #1.}\\%
 #2}


\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}


\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}



\begin{document}



\part*{Oscillateur harmonique - Régime forcé}

\tableofcontents

\noindent C'est la suite du cours « Oscillateur harmonique -
Régime libre ».\\
On se limitera à une excitation sinusoïdale.




\section{Oscillateur harmonique amorti par frottement visqueux et soumis à une excitation sinusoïdale}
\psfrag{x}{$x$}\psfrag{l>l0}{$l>l_0$}\psfrag{T}{$\vec{T}$}\psfrag{P}{$\vec{P}$}\psfrag{R}{$\vec{R}$}\psfrag{F}{$\vec{F}$}
\graphique{width=10cm}{ressort_bilan_forces} %
Nous retrouvons les forces du régime libre (force de rappel, amortissement) qui constituent la partie homogène de l'équation différentielle plus
la force excitatrice qui constitue le second membre :
$$m\ddot{x}= -kx-h\dot{x}+F_0\cos\omega t$$
$$\ddot{x}+2\alpha\dot{x}+\omega_0^2x=\dfrac{F_0}{m}\cos\omega t$$
avec $2\alpha=\dfrac{h}{m}$ et $\omega_0^2=\dfrac{k}{m}$




\section{Régime transitoire}
\noindent La solution est la somme :
$$x=x^{(h)}+x^{(p)}$$
$x^{(h)}$, solution homogène, est solution de
$$\ddot{x}+2\alpha\dot{x}+\omega_0^2x=0$$
La solution de cette équation différentielle tend vers 0 au bout de quelques $\tau=\dfrac{1}{2\alpha}$ (voir cours «
Oscillateur harmonique - Régime libre »). \\
\\
$x^{(p)}$, solution particulière, est de la forme
$$x^{(p)}=X_m\cos(\omega t+\varphi)$$
\cadre{La solution particulière oscille avec la même pulsation que
l'excitation.}%
\vspace{0.5cm} %
On parle de \textbf{régime transitoire} tant que $x^{(h)}$ n'est pas négligeable.




\section{Régime sinusoïdal forcé - Utilisation des complexes}
\noindent On parle de \textbf{régime sinusoïdal forcé} lorsque $x^{(h)}$ devient négligeable
$$x=x^{(h)}+x^{(p)}\simeq x^{(p)}$$
On travaille alors avec les complexes
$$\underline{x}=X_m\exp j(\omega t+\varphi)=\underline{X}_m\exp j\omega
t$$ %
avec $\underline{X}_m=X_m\exp j\varphi$\\
\\
$\underline{x}$ est solution de
$$\ddot{\underline{x}}+2\alpha\dot{\underline{x}}+\omega_0^2\underline{x}=\dfrac{F_0}{m}\exp j\omega t$$
qui devient
$$(-\omega^2+2\alpha
j\omega+\omega_0^2)\underline{X}_m=\dfrac{F_0}{m}$$
$$\underline{X}_m=\dfrac{\dfrac{F_0}{m}}{\omega_0^2-\omega^2+j2\alpha
\omega}$$ %



\section{Résonance en élongation}
\noindent L'amplitude $X_m$ est égale au module de $\underline{X}_m$
$$X_m=|\underline{X}_m|=\dfrac{\dfrac{F_0}{m}}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\alpha^2\omega^2}}$$
que l'on peut aussi écrire en introduisant le facteur de qualité $Q$ et le rapport $\dfrac{\omega}{\omega_0}=x$
$$X_m=\dfrac{\dfrac{F_0}{k}}{\sqrt{(1-x^2)^2+\dfrac{x^2}{Q^2}}}$$
\psfrag{x}{$x$}\psfrag{kXm/F0}{$\dfrac{kX_m}{F_0}$}\psfrag{Q=0,2}{$Q=0,2$}\psfrag{Q=0,5}{$Q=0,5$}\psfrag{Q=5}{$Q=5$}\psfrag{1}{$1$}
\graphique{width=10cm}{reponse_amplitude} %
\cadre{Il y a résonance en élongation seulement si $Q>\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (voir le cours d'électrocinétique «Régime sinusoïdal forcé»).}
 Le déphasage $\varphi$ est égale à l'argument de $\underline{X}_m$
$$\varphi=\arg\underline{X}_m=-\arctan\dfrac{2\alpha\omega}{\omega_0^2-\omega^2}=-\arctan\dfrac{x}{Q(1-x^2)}$$



\section{Résonance en vitesse}
\noindent $v=\dfrac{dx}{dt}$
$$\underline{v}=\dfrac{d\underline{x}}{dt}=j\omega\underline{x}=j\omega\underline{X}_m\exp
j\omega t=\underline{V}_m\exp j\omega t$$
$$\underline{V}_m=j\omega\underline{X}_m=j\omega\dfrac{\dfrac{F_0}{m}}{\omega_0^2-\omega^2+j2\alpha
\omega}$$%
L'amplitude $V_m$ est égale au module de $\underline{V}_m$
$$V_m=|\underline{V}_m|=\omega\dfrac{\dfrac{F_0}{m}}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\alpha^2\omega^2}}$$
que l'on peut aussi écrire en introduisant le facteur de qualité $Q$ et le rapport $\dfrac{\omega}{\omega_0}=x$
$$V_m=\dfrac{\dfrac{F_0}{h}}{\sqrt{1+Q^2\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2}}$$
\psfrag{hVm/F0}{$\dfrac{hV_m}{F_0}$}
\graphique{width=10cm}{reponse_vitesse} %
\cadre{Il y a toujours résonance en vitesse.}
 Le déphasage $\varphi_v$ est égale à l'argument de $\underline{V}_m$
$$\varphi_v=\arg\underline{V}_m=\dfrac{\pi}{2}-\arctan\dfrac{2\alpha\omega}{\omega_0^2-\omega^2}=\dfrac{\pi}{2}+\varphi$$


\label{dernierepage}

\end{document}