\documentclass[12pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - Mécanique I - Oscillateur harmonique - Régime libre}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcounter{num}

\newcommand{\exo}[2]
{\addtocounter{num}{1}%
 \vspace{5mm}%
 \noindent\textbf{Exercice \thenum. #1.}\\%
 #2}


\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}


\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}



\begin{document}



\part*{Oscillateur harmonique - Régime libre}


\noindent L'importance de l'oscillateur harmonique à un degré de
liberté en physique justifie qu'on lui consacre un chapitre.

\tableofcontents


\section{Oscillateur harmonique}
\cadre{On appelle oscillateur harmonique tout système à un degré
de liberté dont l'évolution au cours du temps (en l'absence
d'amortissement et d'excitation) est régi par l'équation
différentielle suivante :
$$\dfrac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2\,x=0$$
quelle que soit la nature physique de la variable $x$.}%
L'oscillateur harmonique évolue dans un puit de potentiel de type
parabolique : \\
soit
$$E_p(x)=E_p(0)+\dfrac{1}{2}kx^2$$
soit
$$E_p(x)\simeq E_p(0)+\dfrac{1}{2}kx^2$$
au voisinage d'une position d'équilibre stable (voir cours
précédent).\\
\\
L'oscillateur harmonique est soumis à une force de rappel
proportionnelle à $x$ :
$$F=-\dfrac{dE_p}{dx}=-kx$$



\section{Oscillations libres}
\subsection{Pulsation propre - Isochronisme des oscillations}
$$x(t)=x_m\cos(\omega_0 t+\varphi)$$
$$\dot{x}(t)=-x_m\omega_0\sin(\omega_0 t+\varphi)=v(t)$$
$x_m$ et $\varphi$ sont déterminés par les conditions initiales.\\
Si $x(0)=x_0$ et $v(0)=v_0$ alors
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x_m=\sqrt{x_0^2+\left(\dfrac{v_0}{\omega_0}\right)^2}\\
      \tan\varphi=-\dfrac{v_0}{\omega_0 x_0}
    \end{array}
  \right. $$%
La période $T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}$ est indépendante des conditions initiales; c'est une propriété importante de l'oscillateur harmonique
appelée \emph{isochronisme} des oscillations.

\subsection{\'Etude énergétique}
$$E_m=E_c+E_p=\dfrac{1}{2}mx_m^2\omega_0^2\sin^2(\omega_0 t+\varphi)+\dfrac{1}{2}kx_m^2\cos^2(\omega_0
t+\varphi)=\dfrac{1}{2}kx_m^2$$ %
Calculons la valeur moyenne de $E_p$
$$\langle E_p\rangle=\dfrac{1}{T}\int_0^T E_p(t)dt=\dfrac{kx_m^2}{2}\langle \cos^2(\omega_0 t+\varphi)\rangle=\dfrac{kx_m^2}{4}$$
de même
$$\langle E_c\rangle=\dfrac{kx_m^2}{4}$$
\cadre{Pendant le mouvement, il y a équipartition, en moyenne, des
formes cinétique et  potentielle  de l'énergie. $$\langle
E_p\rangle=\langle E_c\rangle=\dfrac{E_m}{2}$$}






\section{Oscillations libres amorties}
\subsection{Temps de relaxation - Facteur de qualité}
\noindent Avec amortissement, l'équation différentielle devient
$$m\ddot{x}=-kx-h\dot{x}$$
que  l'on met sous la forme
$$\ddot{x}+2\alpha\dot{x}+\omega_0^2 x=0$$
avec $2\alpha=\dfrac{h}{m}$ et $\omega_0^2=\dfrac{k}{m}$, ou
encore $$\ddot{x}+\dfrac{\dot{x}}{\tau}+\omega_0^2 x=0$$ %
où $\tau$ est une constante ayant la dimension d'un temps qui est
appelée \textbf{temps de relaxation} de l'oscillateur, $\omega_0$
étant sa \textbf{pulsation propre}.\\
Pour décrire l'oscillateur amorti, on peut préférer au couple
($\omega_0$,$\tau$) le couple ($\omega_0$,$Q$), $Q$ étant un
paramètre sans dimension appelé \textbf{facteur de qualité} défini
par
$$Q=\omega_0\tau=2\pi\dfrac{\tau}{T_0}=\dfrac{\omega_0}{2\alpha}=\dfrac{m\omega_0}{h}$$
\\
Une solution en $\exp(rt)$ existe si
$$r^2+2\alpha r+\omega_0^2=0$$
Suivant le signe du discriminant réduit, plusieurs régimes sont
possibles
$$\Delta'=\alpha^2-\omega_0^2$$




\subsection{Régime pseudo-périodique}
\noindent Si les frottements sont faibles alors $\alpha<\omega_0$,
$Q>\dfrac{1}{2}$ et $\Delta'<0$
$$x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)$$
en introduisant la pseudo-pulsation $\Omega$ telle que
$\Omega^2=\omega_0^2-\alpha^2$ ($\Delta'=-\Omega^2=(i\Omega)^2$ et
$r=-\alpha\pm i\Omega$).
$$\dot{x}=-\alpha\mathrm{e}^{-\alpha t}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)+\mathrm{e}^{-\alpha t}\Omega(-A\sin\Omega t+B\cos\Omega t)$$
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x(0)=A=x_0\\
      \dot{x}(0)=-\alpha A+\Omega B=v_0
    \end{array}
  \right. $$%
$$\boxed{x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}(x_0\cos\Omega t+\dfrac{v_0+\alpha x_0}{\Omega}\sin\Omega t)}$$
\graphique{width=8cm}{pseudoperiodique2}%
Une telle évolution de retour vers un état permanent est qualifiée de relaxation; ce
retour se fait au bout de quelques $\tau$.\\
\\
$T=\dfrac{2\pi}{\Omega}=\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\left(\dfrac{\alpha}{\omega_0}\right)^2}}=\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^2}}}$
est la \textbf{pseudo-période}.\\
La détermination expérimentale de
$\delta=\ln\left(\dfrac{x(t)}{x(t+T)}\right)$ appelé
\textbf{décrément logarithmique} permet de calculer le facteur de
qualité
$$\delta=\alpha T=\dfrac{\omega_0
T}{2Q}=\dfrac{\pi}{\sqrt{Q^2-\dfrac{1}{4}}}$$



\subsection{Régime
apériodique} \noindent Si les frottements sont importants alors
$\alpha>\omega_0$, $Q<\dfrac{1}{2}$ et $\Delta'>0$
$$x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}(A\cosh\Omega' t+B\sinh\Omega' t)$$
avec $\Omega'^2=\alpha^2-\omega_0^2$ ($r=-\alpha\pm\Omega'$).
$$\dot{x}=-\alpha\mathrm{e}^{-\alpha t}(A\cosh\Omega' t+B\sinh\Omega' t)+\mathrm{e}^{-\alpha t}\Omega'(A\sinh\Omega' t+B\cosh\Omega' t)$$
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x(0)=A=x_0\\
      \dot{x}(0)=-\alpha A+\Omega' B=v_0
    \end{array}
  \right. $$%
$$\boxed{x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}(x_0\cosh\Omega' t+\dfrac{v_0+\alpha x_0}{\Omega'}\sinh\Omega' t)}$$
\graphique{width=10cm}{aperiodique2}

\subsection{Régime critique}
\noindent Si $\alpha=\omega_0$, $Q=\dfrac{1}{2}$ et $\Delta'=0$
$$x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}(At+B)$$
($r=-\alpha$).
$$\dot{x}=-\alpha\mathrm{e}^{-\alpha t}(At+B)+\mathrm{e}^{-\alpha t}A$$
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x(0)=B=x_0\\
      \dot{x}(0)=-\alpha B+A=v_0
    \end{array}
  \right. $$%
$$\boxed{x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}((v_0+\alpha x_0)t+x_0)}$$
\graphique{width=11cm}{critique2}%
Le régime critique n'est jamais réalisé physiquement exactement.





\subsection{\'Etude énergétique}
$$\dfrac{dE_m}{dt}=\mathcal{P}^{nc}=-hv^2<0$$


\label{dernierepage}

\end{document}