\documentclass[11pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - Mécanique II - Dynamique en référentiel non galiléen}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : février 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcounter{num}

\newcommand{\exo}[2]
{\addtocounter{num}{1}%
 \vspace{5mm}%
 \noindent\textbf{Exercice \thenum. #1.}\\%
 #2}


\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}


\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}



\begin{document}



\part*{Dynamique en référentiel non galiléen}

\tableofcontents




\section{Principe de relativité galiléenne}
\subsection{Référentiels galiléens} \cadre{Rappel : un référentiel
est galiléen si, dans ce référentiel, un point matériel isolé à un
mouvement rectiligne
uniforme} %
Soit $M$ un point matériel isolé dans $\mathcal{R}$ galiléen alors $\mathbf{a}(M)_{\mathcal{R}}=0$\\
\\
Soit $\mathcal{R}'$ un autre référentiel; la composition des
accélérations donne
$$\mathbf{a}(M)_{\mathcal{R}}=\mathbf{a}(M)_{\mathcal{R}'}+\mathbf{a}_e+\mathbf{a}_c$$
$\mathcal{R}'$ est galiléen si $\mathbf{a}(M)_{\mathcal{R}'}=0$
c'est à dire si
$$\mathbf{a}_e=\mathbf{a}_c=0$$
($\mathbf{a}_e+\mathbf{a}_c=0$ ne pouvant être qu'exceptionnel)
$$\mathbf{a}_c=0\Rightarrow\boldsymbol{\omega}=0\Rightarrow\mathbf{a}_e=\mathbf{a}(O')_{\mathcal{R}}=0$$
$\mathcal{R}'$ est donc en translation rectiligne uniforme par
rapport à $\mathcal{R}$ %
\cadre{L'ensemble des référentiels galiléens est constitué par
tous les référentiels en translation rectiligne uniforme par
rapport à l'un d'entre eux}

\subsection{Relativité galiléenne} \noindent Soit
$\mathcal{R}'$ en translation rectiligne uniforme
par rapport à $\mathcal{R}$ galiléen\\
\\
De même que pour le temps, la mécanique newtonienne postule
également (implicitement) l'invariance de la masse et de la force
$$t'=t\qquad m'=m\qquad\mathbf{F}'=\mathbf{F}$$
En notant $\mathbf{u}=\mathbf{v}(O')_{\mathcal{R}}=\mathbf{cte}$ la vitesse de $\mathcal{R}'$ par rapport à $\mathcal{R}$, la composition des
vitesses donne
$$\mathbf{v}'=\mathbf{v}-\mathbf{u}$$
Soit $\mathbf{p}'$ la quantité de mouvement dans $\mathcal{R}'$
$$\mathbf{p}'=m'\mathbf{v}'=m(\mathbf{v}-\mathbf{u})$$
$\mathcal{R}$ étant galiléen
$$\dfrac{d\mathbf{p}'}{dt'}=\dfrac{d\mathbf{p}}{dt}=\mathbf{F}=\mathbf{F}'$$
Le PFD a donc même formulation dans tous les référentiels
galiléens; plus généralement :%
\cadre{Dans des référentiels en translation rectiligne uniforme
les uns par rapport aux autres, appelés référentiels galiléens,
les lois de la physique sont invariantes. Ou encore : les lois de
la physique restent les mêmes dans n'importe quel référentiel
galiléen}%
Le principe de relativité repose donc sur cette impression que
l'on a d'être à l'arrêt quand on est dans un véhicule qui se
déplace rectilignement sans cahot à vitesse constante



\section{Lois de la dynamique en référentiel non galiléen}
\noindent Soient $\mathcal{R}'$ en mouvement quelconque par
rapport à $\mathcal{R}$ galiléen et $\mathbf{F}$ la résultante des
forces s'exerçant sur un point matériel $M$%

\subsection{PFD}
\subsubsection{« Forces d'inertie »} \noindent Dans $\mathcal{R}$
galiléen
$$m\mathbf{a}(M)_{\mathcal{R}}=\mathbf{F}$$
En utilisant la composition des accélérations
$$m(\mathbf{a}(M)_{\mathcal{R}'}+\mathbf{a}_e+\mathbf{a}_c)=\mathbf{F}$$
ou encore
$$m\mathbf{a}(M)_{\mathcal{R}'}=\mathbf{F}-m\mathbf{a}_e-m\mathbf{a}_c$$
Dans $\mathcal{R}'$ non galiléen, on peut appliquer le PFD en
rajoutant les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis
$$\mathbf{F}_{ie}=-m\mathbf{a}_e\qquad\mathbf{F}_{ic}=-m\mathbf{a}_c$$
Ces forces n'étant pas liées à la présence d'un autre corps
(masse, charge) mais seulement au caractère non galiléen du
référentiel sont plutôt appelées \textbf{pseudo-forces}

\subsubsection{Translation et rotation uniforme autour d'un axe
fixe} \noindent Si $\mathcal{R}'$ est en translation par rapport à
$\mathcal{R}$ (voir chapitre précédent)
$$\mathbf{a}_e=\mathbf{a}(O')_{\mathcal{R}}\qquad \mathbf{a}_c=0$$
donc
$$\mathbf{F}_{ie}=-m\mathbf{a}_e=-m\mathbf{a}(O')_{\mathcal{R}}\qquad\mathbf{F}_{ic}=-m\mathbf{a}_c=0$$
$\mathbf{F}_{ie}$ est par exemple la force qui nous plaque contre
le siège d'une voiture qui accélère\\
\\
Si $\mathcal{R}'$ est en rotation uniforme autour d'un axe fixe de
$\mathcal{R}$ (voir chapitre précédent)
$$\mathbf{a}_e=-r\omega^2\mathbf{e}_r\qquad \mathbf{a}_c=2\omega\dot{r}\mathbf{e}_\theta$$
donc
$$\mathbf{F}_{ie}=-m\mathbf{a}_e=+mr\omega^2\mathbf{e}_r\qquad\mathbf{F}_{ic}=-m\mathbf{a}_c=-2m\omega\dot{r}\mathbf{e}_\theta$$
$\mathbf{F}_{ie}$ est par exemple la force centrifuge qui tend à
nous expulser d'un manège

\subsection{Théorème du moment cinétique}%
\noindent Soit $O'$ un point fixe de $\mathcal{R}'$ en mouvement
quelconque par rapport à $\mathcal{R}$ galiléen et $\mathbf{F}$ la
résultante des forces s'exerçant sur un point matériel $M$\\
\\
Dérivons le moment cinétique en $O'$ du point $M$ dans
$\mathcal{R}'$
$$\mathbf{L}_{O'}(M)_{\mathcal{R}'}=\mathbf{O'M}\wedge m\mathbf{v}(M)_{\mathcal{R}'}$$
$$\left(\dfrac{d\mathbf{L}_{O'}(M)_{\mathcal{R}'}}{dt}\right)_{\mathcal{R}'}=%
\mathbf{v}(M)_{\mathcal{R}'}\wedge m\mathbf{v}(M)_{\mathcal{R}'}+
\mathbf{O'M}\wedge m\mathbf{a}(M)_{\mathcal{R}'}$$ %
Le PFD dans $\mathcal{R}'$ donne
$$\left(\dfrac{d\mathbf{L}_{O'}(M)_{\mathcal{R}'}}{dt}\right)_{\mathcal{R}'}=%
\mathbf{O'M}\wedge (\mathbf{F}+\mathbf{F}_{ie}+\mathbf{F}_{ic})$$
Dans $\mathcal{R}'$ non galiléen, on peut donc appliquer le
théorème du moment cinétique en rajoutant les moments des forces
d'inertie d'entraînement et de Coriolis

\subsection{Théorème de la puissance cinétique}
\noindent Soit $\mathcal{R}'$ en mouvement quelconque par rapport
à $\mathcal{R}$ galiléen et $\mathbf{F}$ la résultante des forces
s'exerçant sur un point matériel $M$\\
\\
Multiplions scalairement par $\mathbf{v}(M)_{\mathcal{R}'}$ le PFD
dans $\mathcal{R}'$
$$m\left(\dfrac{d\mathbf{v}(M)_{\mathcal{R}'}}{dt}\right)_{\mathcal{R}'}.\mathbf{v}(M)_{\mathcal{R}'}=%
(\mathbf{F}+\mathbf{F}_{ie}+\mathbf{F}_{ic}).\mathbf{v}(M)_{\mathcal{R}'}$$
on obtient
$$\left(\dfrac{dE_c(M)_{\mathcal{R}'}}{dt}\right)_{\mathcal{R}'}=%
\mathbf{F}.\mathbf{v}(M)_{\mathcal{R}'}+\mathbf{F}_{ie}.\mathbf{v}(M)_{\mathcal{R}'}+\mathbf{F}_{ic}.\mathbf{v}(M)_{\mathcal{R}'}$$ comme
$\mathbf{F}_{ic}=-m\mathbf{a}_c=-2m\boldsymbol{\omega}\wedge\mathbf{v}(M)_{\mathcal{R}'}$
$$\mathbf{F}_{ic}.\mathbf{v}(M)_{\mathcal{R}'}=0$$
Finalement, dans $\mathcal{R}'$ non galiléen, on peut appliquer le
théorème de la puissance cinétique en rajoutant seulement la
puissance de la force d'inertie d'entraînement, la puissance de la
force d'inertie de Coriolis étant nulle



\section{Caractère galiléen approché de quelques référentiels
d'utilisation courante}
\subsection{Référentiel de Copernic}
\noindent Le référentiel de Copernic a pour origine le centre de
masse du système solaire (presque confondu avec le centre du
Soleil) et ses axes sont dirigés vers trois étoiles suffisamment
éloignées pour pouvoir être considérées comme fixes\\
\\
Il est galiléen avec une excellente approximation

\subsection{Référentiel héliocentrique}
\noindent Idem avec comme origine le centre du Soleil\\
\\
Il est galiléen avec une excellente approximation

\subsection{Référentiel géocentrique}
\noindent Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de
la Terre et ses axes gardent une direction fixe par rapport à ceux
du référentiel de Copernic; le référentiel géocentrique est donc
en translation elliptique par rapport au référentiel de Copernic\\
\\
L'accélération de la Terre dû à sa trajectoire elliptique autour
du Soleil est faible, si on la néglige, on peut alors considérer
que le référentiel géocentrique est en translation rectiligne
uniforme par rapport au référentiel de Copernic et qu'il est donc
lui-même galiléen

\subsection{Référentiel terrestre - Poids}
\noindent Le référentiel terrestre a pour origine un point $A$ à
la surface de la Terre et ses axes \\
$Ox$ suivant un méridien dans la direction Nord-Sud\\
$Oy$ suivant un parallèle dans la direction Ouest-Est\\
$Oz$ suivant la verticale ascendante du lieu\\
tournent autour de l'axe pôle Sud-pôle Nord. On supposera
$$\boldsymbol{\omega}_{\mathcal{R}_{\text{terrestre}}/\mathcal{R}_{\text{géocentrique}}}=\mathbf{cte}$$
ce qui revient à considérer que le référentiel terrestre est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel géocentrique que l'on
considérera galiléen; le référentiel terrestre n'est donc pas galiléen.
\psfrag{O}{$O$}\psfrag{M}{$A$}\psfrag{er}{$\vec{e}_z$}
\psfrag{eth}{$\vec{e}_x$}\psfrag{efi}{$\vec{e}_y$}\psfrag{th}{$\theta$}\psfrag{fi}{$\varphi$}\psfrag{la}{$\lambda$}
\graphique{height=6cm}{coord_geographiques} %
Appliquons le PFD dans le référentiel terrestre à un point matériel $M$ de masse $m$ soumis en plus de l'attraction terrestre à une résultante
des forces $\mathbf{f}$
$$m\mathbf{a}(M)=m\mathbf{\mathcal{G}}+\mathbf{f}+\mathbf{F}_{ie}+\mathbf{F}_{ic}$$
$$m\mathbf{a}(M)=m\mathbf{\mathcal{G}}+\mathbf{f}+m\omega^2\mathbf{HM}-2m\boldsymbol{\omega}\wedge\mathbf{v}(M)$$
$$m\mathbf{a}(M)=\mathbf{f}+m(\mathbf{\mathcal{G}}+\omega^2\mathbf{HM})-2m\boldsymbol{\omega}\wedge\mathbf{v}(M)$$
($H$ est le projeté orthogonal de M sur l'axe de rotation)\\
\\
Soit un fil à plomb, le poids est défini comme la force opposée à la tension du fil à l'équilibre (relatif dans le référentiel terrestre)
$$0=\mathbf{T}+m(\mathbf{\mathcal{G}}+\omega^2\mathbf{HM})=\mathbf{T}+\mathbf{P}$$
Le poids prend donc en compte une partie du caractère non galiléen
du référentiel terrestre
$$\boxed{\mathbf{P}=m(\mathbf{\mathcal{G}}+\omega^2\mathbf{HM})}$$
En tenant compte du poids, le PFD dans le référentiel terrestre
s'écrit
$$m\mathbf{a}(M)=\mathbf{f}+\mathbf{P}-2m\boldsymbol{\omega}\wedge\mathbf{v}(M)$$
Lorsque l'on considérait le référentiel terrestre galiléen, on négligeait la force d'inertie de Coriolis mais on prenait quand même en compte le
force d'inertie d'entraînement par l'intermédiaire du poids


\label{dernierepage}


\end{document}