\documentclass[11pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - Mécanique I - Repérage d'un point - Vitesse et accélération}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}



\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}




\begin{document}


\part*{Repérage d'un point - Vitesse et accélération}
\tableofcontents

\section{Espace et temps - Référentiel d'observation}
\noindent D'une manière générale, repérer un point, paramétrer un
point, nous servira tout au long du cours de Physique.\\
Plus particulièrement en Mécanique, repérer un point va nous
permettre de calculer vitesse et accélération et de décrire les
mouvements.\\
\\
Dans ce chapitre nous ne nous préoccuperons pas encore des causes du
mouvement (forces) et nous décrirons les mouvements par rapport à un
\textbf{référentiel d'observation}, repère
$(O,\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z)$ + horloge, qui nous
permettra, comme nous l'avons rappelé dans le chapitre précédent, de
répondre aux questions où ? (\textbf{espace}) et quand ?
(\textbf{temps}).\\
\\
En mécanique classique, le temps est le même pour tous les
observateurs, l'unité de temps, la seconde, étant défini comme 9 192
634 770 périodes de la radiation électromagnétique correspondant à
la transition entre 2 niveaux hyperfins de l'état
fondamental du césium 133.\\
\\
En revanche pour répondre à la question où ? il existe différents
systèmes de coordonnées...





\section{Coordonnées cartésiennes}
\subsection{Repérage d'un point - Vecteur position}
\noindent Pour repérer un point, on utilise un \textbf{repère}.\\
Un repère, c'est une \textbf{origine} O et une \textbf{base}
$(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})$  en
général orthonormée et droite.\\
\\
$(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})$ est une base si $\forall$
$\mathbf{V}$, $\exists$ $(\alpha,\beta,\gamma)$ réels tel que
$\mathbf{V}=\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}+\gamma\mathbf{w}$.\\
\\
$(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})$ est orthonormée si
$$\mathbf{u}.\mathbf{v}=\mathbf{u}.\mathbf{w}=\mathbf{v}.\mathbf{w}=0$$
$$\|\mathbf{u}\|=\|\mathbf{v}\|=\|\mathbf{w}\|=1$$
$$\mathbf{u}\wedge\mathbf{v}=\mathbf{w}\quad\circlearrowright$$
Soit la base cartésienne $(\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e_z})$%
\psfrag{O}{$O$}\psfrag{M}{$M$}\psfrag{x}{$x$}\psfrag{y}{$y$}\psfrag{z}{$z$}\psfrag{ex}{$\vec{e}_x$}\psfrag{ey}{$\vec{e}_y$}\psfrag{ez}{$\vec{e}_z$}

\graphique{height=6cm}{coord_cartesiennes} $x=\overline{OH}_x$, $y=\overline{OH}_y$ et $z=\overline{OI}$, \textbf{coordonnées cartésiennes} de
M, définissent de façon unique la position de M extrémité du \textbf{vecteur position}
$$\boxed{\mathbf{OM}=x\mathbf{e}_x+y\mathbf{e}_y+z\mathbf{e}_z}$$
Remarque : si l'on représente 2 des 3 vecteurs de la base dans un
plan, pour déterminer si le 3\ieme ~est rentrant ou sortant, on
utilise la règle des 3 doigts
de la main droite ou la règle du tire bouchon. %
\cadre{Lorsque M se déplace, $x$, $y$ et $z$ varient (peuvent
varier de $-\infty$ à $+\infty$); $x$, $y$ et $z$ sont des
fonctions du temps et on devrait écrire $x(t)$, $y(t)$ et $z(t)$.}

\subsection{Vecteur vitesse et vecteur accélération}
\noindent Lorsque M se déplace, $H_x$ se déplace; on peut associer
à $H_x$ une vitesse $v_x$ :\\
vitesse moyenne
$=\dfrac{distance}{temps}=\dfrac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}=\dfrac{x(t+\Delta
t)-x(t)}{t+\Delta t-t}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$\\
vitesse instantanée $$v_x=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta
x}{\Delta t}=\dfrac{dx}{dt}$$ en $m.s^{-1}$ où
$dx=x(t+dt)-x(t)=v_xdt$ est la
variation élémentaire de $x$ quand $t$ varie de $dt\to 0$.%
\cadre{$\dfrac{dx}{dt}$ n'est pas seulement une écriture voulant
dire je dérive la fonction $x(t)$ par rapport au temps $t$, c'est
bien un rapport $\dfrac{x(t+dt)-x(t)}{t+dt-t}$.} %
De même $v_y=\dfrac{dy}{dt}$ est la vitesse de $H_y$ et
$v_z=\dfrac{dz}{dt}$ est la vitesse de $I$.\\
$v_x$, $v_y$ et $v_z$ définissent le \textbf{vecteur vitesse} :
$$\boxed{\mathbf{v}=v_x\mathbf{e}_x+v_y\mathbf{e}_y+v_z\mathbf{e}_z}$$
On utilise aussi la notation $\dfrac{dx}{dt}=\dot{x}$ :
$$\boxed{\mathbf{v}=\dot{x}\mathbf{e}_x+\dot{y}\mathbf{e}_y+\dot{z}\mathbf{e}_z}$$
$$\mathbf{v}=\dfrac{dx}{dt}\mathbf{e}_x+\dfrac{dy}{dt}\mathbf{e}_y+\dfrac{dz}{dt}\mathbf{e}_z=\dfrac{d}{dt}(x\mathbf{e}_x)+\dfrac{d}{dt}(y\mathbf{e}_y)+\dfrac{d}{dt}(z\mathbf{e}_z)=\dfrac{d}{dt}(x\mathbf{e}_x+y\mathbf{e}_y+z\mathbf{e}_z)$$
$$\boxed{\mathbf{v}=\dfrac{d\mathbf{OM}}{dt}}$$
Encore une fois $\dfrac{d\mathbf{OM}}{dt}$ est bien un rapport :
$$\boxed{d\mathbf{OM}=\mathbf{v}dt=dx\mathbf{e}_x+dy\mathbf{e}_y+dz\mathbf{e}_z}$$
est le \textbf{vecteur déplacement élémentaire} (pendant $dt$,
$H_x$ se déplace de $dx$, $H_y$ de $dy$ et $I$ de $dz$).\\
\\
On peut aussi associer à $H_x$ une accélération
$a_x=\dfrac{dv_x}{dt}=\dfrac{d^2x}{dt^2}=\ddot{x}$ en $m.s^{-2}$ et
construire le \textbf{vecteur accélération} :
$$\boxed{\mathbf{a}=a_x\mathbf{e}_x+a_y\mathbf{e}_y+a_z\mathbf{e}_z=\ddot{x}\mathbf{e}_x+\ddot{y}\mathbf{e}_y+\ddot{z}\mathbf{e}_z}$$





\section{Coordonnées curvilignes - Base de Frénet}
\subsection{Repérage d'un point - Abscisse curviligne}
\psfrag{A}{$\vec{e}_T$} \psfrag{B}{$\vec{e}_N$}
\graphique{}{coord_frenet}%
On repère le point sur sa trajectoire (courbe orientée) par son
\textbf{abscisse curviligne} :
$$\boxed{s=SM}$$
$\mathbf{e}_T$ et $\mathbf{e}_N$ forment la \textbf{base de
Frénet}.\\
$\mathbf{e}_T$ est le vecteur unitaire tangent à la
trajectoire orienté selon le sens positif; $\mathbf{e}_N$
s'obtient en tournant de $\pi/2$ vers l'intérieur de la
concavité.\\

\subsection{Vecteur vitesse et vecteur accélération}
$$\boxed{\mathbf{v}=v\,\mathbf{e}_T}\quad avec\quad
v=\dfrac{ds}{dt}$$
$$\boxed{\mathbf{a}=\dfrac{dv}{dt}\mathbf{e}_T+\dfrac{v^2}{R_c}\mathbf{e}_N}$$
$a_T=\dfrac{dv}{dt}$ est la composante tangentielle de
l'accélération.\\
$a_N=\dfrac{v^2}{R_c}$ est la composante normale de
l'accélération.\\
\\
Pourquoi $\mathbf{a}\not=\dot{v}\,\mathbf{e}_T$ ? %
\cadre{Quand on dérive (par rapport au temps), il faut toujours
faire le point sur ce qui dépend du temps.}%
$v(t)$ mais aussi $\mathbf{e}_T(t)$ !\\
Donc
$\mathbf{a}=\dfrac{dv}{dt}\mathbf{e}_T+v\dfrac{d\mathbf{e}_T}{dt}$;
en identifiant
$\dfrac{v^2}{R_c}\mathbf{e}_N=v\dfrac{d\mathbf{e}_T}{dt}$ ou
encore
$$\mathbf{e}_N=\dfrac{R_c}{v}\dfrac{d\mathbf{e}_T}{dt}$$





\section{Coordonnées polaires et cylindriques}
\subsection{Repérage d'un point - Vecteur position}
\psfrag{O}{$O$}\psfrag{M}{$M$}\psfrag{H}{$H$}\psfrag{ex}{$\vec{e}_x$}\psfrag{ey}{$\vec{e}_y$}\psfrag{ez}{$\vec{e}_z$}\psfrag{er}{$\vec{e}_r$}
\psfrag{eth}{$\vec{e}_\theta$}\psfrag{r}{$r$}\psfrag{th}{$\theta$}
 \graphique{height=6cm}{coord_cylindriques} De la même manière que $x=\overline{OH}_x$, $y=\overline{OH}_y$ et
$z=\overline{OI}$ définissaient de façon unique la position de M,
les \textbf{coordonnées cylindriques}\\[0.5cm]
$r=\|\mathbf{OH}\|=OH>0$ de 0 à $+\infty$,  \\
$\theta=(\widehat{\mathbf{e}_x,\mathbf{OH}})$ de 0 à $2\pi$ et \\
$z=\overline{OI}$ de $-\infty$ à $+\infty$\\[0.5cm]%
définissent aussi de façon unique la position de M.\\[0.5cm]
Si le mouvement est plan, on utilise les \textbf{coordonnées
polaires} $(r,\theta)$.\\
\\
$r=cte$ défini un cylindre de rayon $r$ (un cercle en coordonnées polaires).\\
$\theta=cte$ défini un demi plan perpendiculaire au plan
$(\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y)$ (une demi droite en coordonnées
polaires).\\
 $z=cte$ défini un plan parallèle au plan$
(\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y)$.\\
\\
$\mathbf{e}_r$, $\mathbf{e}_\theta$ et $\mathbf{e}_z$ forment la
\textbf{base cylindrique} ($\mathbf{e}_r$ et $\mathbf{e}_\theta$
la
\textbf{base polaire}) :\\
$\mathbf{e}_r=\dfrac{\mathbf{OH}}{OH}$, \\
$\mathbf{e}_\theta$ s'obtient en tournant de $\pi/2$ dans le sens
des $\theta$ croissant,\\
$\mathbf{e}_z$ est le 3\ieme ~vecteur de la base cartésienne.\\
\\
Le \textbf{vecteur position} s'écrit dans la base cylindrique
$$\boxed{\mathbf{OM}=r\,\mathbf{e}_r+z\,\mathbf{e}_z}$$
et dans la base polaire
$$\boxed{\mathbf{OM}=r\,\mathbf{e}_r}$$
\\


\subsection{Relations entre paramétrage cylindrique ou polaire
et paramétrage cartésien}
\begin{tabular}{|l|l|}
  \hline
  $r=\sqrt{x^2+y^2}$ & $x=r\cos\theta$ \\
  $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ & $y=r\sin\theta$ \\
  $\mathbf{e}_r=\cos\theta\,\mathbf{e}_x+\sin\theta\,\mathbf{e}_y$ & $\mathbf{e}_x=\cos\theta\,\mathbf{e}_r-\sin\theta\,\mathbf{e}_\theta$ \\
  $\mathbf{e}_\theta=-\sin\theta\,\mathbf{e}_x+\cos\theta\,\mathbf{e}_y$ & $\mathbf{e}_y=\sin\theta\,\mathbf{e}_r+\cos\theta\,\mathbf{e}_\theta$\\ \hline
\end{tabular}
\\[0.5cm]On remarque en particulier que
$\mathbf{e}_\theta=\dfrac{d\mathbf{e}_r}{d\theta}$ ou encore
$$\boxed{\dfrac{d\mathbf{e}_r}{dt}=\dfrac{d\mathbf{e}_r}{d\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta}$$
On pourra vérifier que
$$\boxed{\dfrac{d\mathbf{e}_\theta}{dt}=-\dot{\theta}\,\mathbf{e}_r}$$
On peut retenir la règle suivante : $\dot{\theta}\times$ vecteur
obtenu par une rotation de $\pi/2$ dans le sens des $\theta$
croissant.


\subsection{Vecteur vitesse et vecteur accélération}
\noindent $r$, $\theta$, $z$, mais aussi $\mathbf{e}_r$ et
$\mathbf{e}_\theta$ dépendent du temps.\\
$\mathbf{v}=\dfrac{d\mathbf{OM}}{dt}=\dot{r}\,\mathbf{e}_r+r\,\dfrac{d\mathbf{e}_r}{dt}+\dot{z}\,\mathbf{e}_z$
$$\boxed{\mathbf{v}=\dot{r}\,\mathbf{e}_r+r\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta+\dot{z}\,\mathbf{e}_z}$$
$\mathbf{v}=\dot{r}\,\mathbf{e}_r+r\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta$
en polaire.\\
\\
Calculons le vecteur accélération :\\
$\mathbf{a}=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=\ddot{r}\,\mathbf{e}_r+\dot{r}\,\dfrac{d\mathbf{e}_r}{dt}+%
(\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\,\mathbf{e}_\theta+r\dot{\theta}\,\dfrac{d\mathbf{e}_\theta}{dt}+%
\ddot{z}\,\mathbf{e}_z$
$$\boxed{\mathbf{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\,\mathbf{e}_r+%
(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\,\mathbf{e}_\theta+%
\ddot{z}\,\mathbf{e}_z}$$ %
$a_r=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2$ est la \textbf{composante radiale} de
l'accélération.\\
$a_\theta=2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}$ est la \textbf{composante
orthoradiale} de l'accélération.\\
$a_z=\ddot{z}$ est la \textbf{composante axiale}.\\
\\
Calculons le vecteur déplacement élémentaire :\\
$$\boxed{d\mathbf{OM}=\mathbf{v}dt=dr\,\mathbf{e}_r+rd\theta\,\mathbf{e}_\theta+dz\,\mathbf{e}_z}$$




\section{Coordonnées sphériques}
\subsection{Repérage d'un point - Vecteur position}
\psfrag{O}{$O$}\psfrag{M}{$M$}\psfrag{H}{$H$}\psfrag{ex}{$\vec{e}_x$}\psfrag{ey}{$\vec{e}_y$}\psfrag{ez}{$\vec{e}_z$}\psfrag{er}{$\vec{e}_r$}
\psfrag{eth}{$\vec{e}_\theta$}\psfrag{efi}{$\vec{e}_\varphi$}\psfrag{r}{$r$}\psfrag{th}{$\theta$}\psfrag{fi}{$\varphi$}
\graphique{height=6cm}{coord_spheriques} %
Les \textbf{coordonnées sphériques} $(r,\theta,\varphi)$
définissent de manière unique la position du point M :\\
$r=\|\mathbf{OM}\|$ peut varier de 0 à $+\infty$\\
$\theta=(\widehat{\mathbf{e}_z,\mathbf{OM}})$ peut varier de 0 à
$\pi$\\
$\varphi=(\widehat{\mathbf{e}_x,\mathbf{OH}})$ peut varier de 0 à
$2\pi$\\
\\
Les vecteurs $\mathbf{e}_r$, $\mathbf{e}_\theta$ et
$\mathbf{e}_\varphi$ constitue la \textbf{base sphérique} : \\
$\mathbf{e}_r=\dfrac{\mathbf{OM}}{OM}$\\
$\mathbf{e}_\varphi$ est obtenu en tournant de $\pi/2$ dans le
sens des $\varphi$ croissant à partir du vecteur $\mathbf{OH}$\\
$\mathbf{e}_\theta=\mathbf{e}_\varphi\wedge\mathbf{e}_r$\\
\\
Le \textbf{vecteur position} s'écrit dans la base sphérique :
$$\boxed{\mathbf{OM}=r\,\mathbf{e}_r}$$

\subsection{Relation entre paramétrage sphérique et paramétrage
cartésien (voir TD)}

\subsection{Vecteur vitesse et vecteur accélération (voir TD)}

\subsection{Coordonnées géographiques}
\psfrag{O}{$O$}\psfrag{M}{$M$}\psfrag{er}{$\vec{e}_r$}
\psfrag{eth}{$\vec{e}_\theta$}\psfrag{efi}{$\vec{e}_\varphi$}\psfrag{th}{$\theta$}\psfrag{fi}{$\varphi$}\psfrag{la}{$\lambda$}
\graphique{height=6cm}{coord_geographiques} %



\section{Exemples de mouvement}
\subsection{Vecteur accélération constant}
$$\mathbf{a}=\mathbf{cte}$$
$$\mathbf{v}=\mathbf{a}t+\mathbf{A}$$
$$\mathbf{OM}=\dfrac{1}{2}\mathbf{a}t^2+\mathbf{A}t+\mathbf{B}$$

\subsection{Mouvement rectiligne sinusoïdal}
$$\mathbf{OM}=x\,\mathbf{e}_x\quad avec\quad x=x_m\cos\omega t$$
$$\mathbf{v}=-x_m\omega\sin\omega t\,\mathbf{e}_x$$
$$\mathbf{a}=-x_m\omega^2\cos\omega
t\,\mathbf{e}_x=-\omega^2\,\mathbf{OM}$$

\subsection{Mouvement circulaire}
\noindent Le paramétrage polaire est le mieux adapté :
$$\mathbf{OM}=R\,\mathbf{e}_r$$
$$\mathbf{v}=R\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta$$
$$\mathbf{a}=-R\dot{\theta}^2\,\mathbf{e}_r+R\ddot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta$$

\label{dernierepage}
\end{document}