\documentclass[11pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - Thermodynamique - Deuxième principe : bilans d'entropie}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : mars 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcounter{num}

\newcommand{\exo}[2]
{\addtocounter{num}{1}%
 \vspace{5mm}%
 \noindent\textbf{Exercice \thenum. #1.}\\%
 #2}


\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}


\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}



\begin{document}



\part*{Deuxième principe : bilans d'entropie}

\tableofcontents%


\section{Irréversibilité en Thermodynamique}
\subsection{Position du problème}
\noindent Soit une balle de tennis lâchée d'une hauteur $h$;
Considérons le système \{balle+sol\} fermé et isolé, le premier
principe s'écrit alors
$$\Delta E+\Delta U=0$$
où $\Delta E=-mgh$ est la variation d'énergie mécanique de la
balle et $\Delta U=mgh$ la variation d'énergie interne du sol.\\
\\
En changeant les signes, le premier principe n'exclut pas que le
sol se refroidisse en communiquant à la balle l'énergie nécessaire
pour remonter jusqu'à une hauteur $h$ !\\
\\
Même remarque pour la détente de Joule Gay-Lussac.\\
\\
A ce stade de la présentation, la thermodynamique est incomplète :
le premier principe ne rend pas compte de l'impossibilité de
renverser le cours du temps pour une évolution réellement
observée.

\subsection{\'Evolutions réversibles et irréversibles}
\noindent Une évolution est \textbf{réversible} si elle est quasi
statique et qu'il est possible d'en inverser le sens en passant
exactement par les mêmes états intermédiaires par une modification
infinitésimale des contraintes extérieures au cours de
l'évolution.\\
\\
Dans le cas contraire, nous dirons qu'une évolution est
\textbf{irréversible}.\\
\\Les évolutions naturelles, c'est à dire effectivement observées
sont toujours irréversibles; les évolutions réversibles
constituent un modèle dont on ne peut que s'approcher (exemple du
piston, irréversible en ajoutant $M$, reversible en ajoutant
$dm$).\\
\\
Attention, irréversible ne veut pas dire que $2\rightarrow 1$
impossible :\\
Pour la balle de tennis, il suffit de la ramasser ! Mais il faut
un ramasseur de balle qui ne jouait aucun rôle dans $1\rightarrow
2$.\\
Pour la détente de Joule Gay-Lussac, il est possible de comprimer
et de ramener à $T_I$ en supprimant l'isolation thermique et en
utilisant un thermostat.\\
Il est donc possible de ramener le système dans l'état 1 mais en
modifiant le chemin.


\subsection{Quelques causes d'irréversibilité}


\pagebreak


\section{Le deuxième principe de la thermodynamique}
\subsection{\'Enoncé}
\cadre{%
Pour tout système thermodynamique ($\Sigma$), il existe une
fonction appelée entropie et notée $S$ telle que\\
\\
i) L'entropie est extensive c'est à dire additive pour toute
partition de ($\Sigma$) en deux sous-systèmes disjoints
($\Sigma_1$) et ($\Sigma_2$)
$$S_\Sigma=S_{\Sigma_1}+S_{\Sigma_2}$$
ii) Au cours de l'évolution d'un système fermé et calorifugé d'un
état initial I à un état final F, l'entropie ne peut qu'augmenter
$$\Delta S=S_F-S_I\geq 0$$
iii) L'entropie $S$ est une fonction d'état : à l'équilibre
thermodynamique, $S$ ne dépend que d'un petit nombre de paramètres
d'état} Remarque : I et F ne sont pas forcément des états
d'équilibre. On peut donc écrire $dS\geq 0$ pour une évolution
quelconque.\\
\\
Pour un Système fermé et isolé (donc calorifugé), le premier
principe s'écrit
$$\Delta(E+U)=0$$
et le deuxième principe
$$\Delta S\geq 0$$
Contrairement à l'énergie $E+U$ qui est une grandeur conservative,
l'entropie est une \textbf{grandeur non conservative}; elle croît
lorsque le temps s'écoule du passé vers le futur et introduit donc
en physique la flêche du temps.\\
\\
Soit une évolution $1\rightarrow 2$ d'un système fermé et
calorifugé
$$S_2-S_1\geq 0$$
si l'évolution est réversible, on a pour $2\rightarrow 1$
$$S_1-S_2\geq 0$$
Lors de l'évolution d'un système fermé et calorifugé, le cas
$\Delta S = 0$ correspond au cas d'un évolution réversible.\\
\\
L'état d'équilibre d'un système fermé et calorifugé est atteint
lorsque l'entropie ne peut plus augmenter c'est à dire lorsqu'elle
atteint un maximum.

\subsection{Identités thermodynamiques}
\noindent $S$ étant une fonction d'état, on définit, pour un
système en équilibre thermodynamique, la \textbf{pression
thermodynamique} $p$ et la \textbf{température thermodynamique}
$T$ par
$$T=\left(\dfrac{\partial U}{\partial S}\right)_V\qquad p=-\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_S$$
On admettra l'égalité entre pression thermo et pression cinétique
et entre température thermo et température cinétique.\\
\\
Pour exprimer $dU$, on peut choisir comme paramètre $S$ et $V$ à
la place de $T$ et $V$
$$dU=\left(\dfrac{\partial U}{\partial S}\right)_VdS+\left(\dfrac{\partial U}{\partial
V}\right)_SdV$$%
$$\boxed{dU=TdS-p\,dV}$$
ou encore
$$dH=dU+p\,dV+Vdp$$
$$\boxed{dH=TdS+Vdp}$$
L'unité légale d'entropie est le joule par kelvin $J.K^{-1}$.\\
\\
Considérons une évolution réversible : elle est à fortiori
quasi-statique et mécaniquement réversible
$$dU=\delta W+\delta Q=-p\,dV+\delta Q$$
en comparant avec ce qui précède
$$\delta Q=TdS\qquad dS=\dfrac{\delta Q}{T}$$
afin de rappeler que ce résultat a été obtenu pour une évolution
réversible
$$\boxed{dS=\dfrac{\delta Q_{rev}}{T}}$$
Nous voyons sur cette formule que le deuxième principe fait jouer
un rôle différent au travail et au transfert thermique : un
transfert thermique réversible fait varier l'entropie alors qu'un
travail effectué réversiblement ne modifie pas l'entropie.\\
\\
Cas particulier d'une évolution \textbf{réversible adiabatique}
$\delta Q_{rev}=0$ donc $dS=0$; on parlera d'évolution
\textbf{isentropique}.\\




\subsection{Sources de chaleur (ou thermostat)}
\cadre{Une source de chaleur est un système fermé n'échangeant
aucun travail et capable d'échanger de la chaleur sans que sa
température $T_S$ varie.}%
Un système réel s'approche d'autant mieux d'un source de chaleur
qu'il est plus grand.\\
\\
Soit une source de chaleur (S) de température $T_S$ fournissant à
un système ($\Sigma$) un transfert thermique $Q$
$$dU_{(S)}=T_SdS_{(S)}-p\,dV=T_SdS_{(S)}$$
puisque $T_S=cte$
$$\Delta U_{(S)}=T_S\Delta S=-Q$$
finalement
$$\Delta S_{(S)}=-\dfrac{Q}{T_S}\qquad
dS_{(S)}=-\dfrac{\delta Q}{T_S}$$


\subsection{Inégalité de Carnot-clausius}
\noindent Considérons une évolution infinitésimale d'un système
($\Sigma$) au cours de laquelle il reçoit de l'extérieur un
travail $\delta W$ et un transfert thermique $\delta Q$ en
provenance d'une seule source (S) à la température $T_S$
(évolution monotherme).\\
La réunion de ($\Sigma$) non isolé et de (S) est un système fermé
et calorifugé :
$$dS+dS_{(S)}\geq 0$$
soit
$$\boxed{dS\geq\dfrac{\delta Q}{T_S}}$$


\subsection{Entropie échangée. Entropie créée. Bilans d'entropie}
\noindent Au cours d'une évolution infinitésimale monotherme, on
définit l'entropie échangée $\delta S_e$ par un système avec une
source à température $T_S$ et l'entropie créée $\delta S_c$ par
$$dS=\delta S_e+\delta S_c\geq \dfrac{\delta Q}{T_S}\quad avec\quad\delta S_e=\dfrac{\delta Q}{T_S}\quad et \quad\delta S_c\geq 0$$
L'entropie créée est toujours positive ou nulle pour une évolution réversible.

\section{Entropie de quelques fluides modèle}
\subsection{GP}
\noindent voir TD
\subsection{Gaz de Van der Waals}
\noindent voir TD
\subsection{Phase condensée incompressible}
\noindent voir TD


\label{dernierepage}



\end{document}