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\lhead{MPSI - Thermodynamique - Premier principe : bilans d'énergie}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : février 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcounter{num}

\newcommand{\exo}[2]
{\addtocounter{num}{1}%
 \vspace{5mm}%
 \noindent\textbf{Exercice \thenum. #1.}\\%
 #2}


\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}


\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}



\begin{document}



\part*{Premier principe : bilans d'énergie}

\tableofcontents%


\section{De la mécanique à la thermodynamique : formes d'énergie
et échanges d'énergie}
\subsection{Système fermé et isolé}
\noindent Toute la thermodynamique est construite sur deux
principes; la validité d'un principe repose sur la cohérence et
l'exactitude des
conséquences que l'on en tire\\
\\
Le premier principe affirme que \textbf{l'énergie est une grandeur
conservative} c'est à dire que l'énergie d'un système fermé et
isolé est constante, elle ne peut-être ni créée, ni détruite\\
\\
Un \textbf{système fermé} n'échange pas de matière avec l'extérieur\\
\\
Un \textbf{système isolé} n'échange pas d'énergie avec l'extérieur

\subsection{Non conservation de l'énergie mécanique}
\noindent Considérons un pendule élastique constitué d'une masse
$m$ fixée à un ressort vertical de raideur $k$, le tout enfermé
dans une enceinte en verre remplie d'air sous faible pression; on
étudie le système \{pendule+air\} fermé et isolé
\\
Dans l'état initial, le ressort est comprimé de $a$ et l'air est
au repos
$$E_I=\dfrac{1}{2}ka^2+mga$$
On abandonne la masse sans vitesse initiale, la masse effectue des oscillations amorties\\
\\
Dans l'état final, le pendule et l'air sont au repos
$$E_F=0$$
Cette dissipation d'énergie mécanique est associée à l'existence
de forces de frottements non conservatives décrivant à l'échelle
macroscopique les interactions pendule et air
$$E_F-E_I=W^{nc}=W_f$$


\subsection{Le point de vue de la thermo}
\noindent En mesurant la température de l'air $T_F>T_I$. La
pression étant faible, on peut utiliser le modèle du GP
$$U_F>U_I$$
Il y a donc conversion d'énergie mécanique en énergie interne via
les chocs des molécules d'air sur le pendule; des mesures précises
montreraient que cette conversion est parfaite\\
\\
L'énergie mécanique n'a pas disparue, elle a pris une autre
forme\\
\\
C'est donc la somme $E+U$ qui est une grandeur conservative; si
$E$ diminue $U$ augmente et inversement
$$\Delta E+\Delta U=0$$



\subsection{\'Echanges d'énergie}
\noindent Considérons de l'air dans un cylindre fermé par un
piston mobile; un thermomètre permet de mesurer la température de
l'air\\
\\
Lorsque $V$ diminue $T$ augmente et donc $U$ augmente or $\Delta
E=0$ puisque l'air est au repos dans l'état initial et dans l'état
final\\
\\
L'augmentation de $U$ n'est pas due à une diminution de $E$; le
système n'étant pas isolé, il a reçu de l'énergie de la part du
piston; un tel transfert est familier en mécanique, il s'agit du
travail $W$ des forces de pression lors du déplacement de leur
point d'application\\
\\
Si maintenant nous bloquons le piston et que nous plaçons le
récipient dans un bain d'eau chaude $T$ et $U$ augmente\\
\\
L'air a donc reçu de l'énergie sans que les forces de pression
aient travaillé puisque leurs points d'application ne sont pas
déplacés; un tel transfert est appelé \textbf{chaleur} ou mieux
\textbf{transfert thermique}\\
\\
On dit que l'évolution d'un système est \textbf{adiabatique} si le
système n'échange pas de chaleur avec l'extérieur; on dit aussi
dans ce cas que le système est \textbf{calorifugé} ou encore
\textbf{thermiquement isolé}


\subsection{Résumé}
\noindent En résumé, le passage du point de vue de la méca au
point de vue de la thermo conduit à distinguer :\\
- deux formes d'énergie, l'énergie mécanique et l'énergie
interne\\
- deux formes d'échanges d'énergie, le travail et le transfert
thermique\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{4cm}|c|c|}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
   & macroscopique & microscopique \\
  \hline
  perception par un « observateur mécanique » & perceptible & dissimulé
  \\ \hline
  énergie & énergie mécanique $E$ & énergie interne $U$\\ \hline
  transfert d'énergie & travail $W$ & transfert thermique $Q$ \\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}



\section{Le premier principe}
\subsection{\'Enoncé}
\cadre{ i) L'énergie interne $U$ est extensive c'est à dire
additive pour toute partition d'un système ($\Sigma$) en deux
sous-systèmes disjoints ($\Sigma_1$) et ($\Sigma_2$)
$$U_{\Sigma}=U_{\Sigma_1}+U_{\Sigma_2}$$
ii) soit un système fermé ($\Sigma$) évoluant entre deux états
($I$) et ($F$) en recevant algébriquement de l'extérieur un
travail $W$ et un transfert thermique $Q$; soit $\Delta E=E_F-E_I$
et $\Delta U=U_F-U_I$ les variations d'énergie mécanique et
d'énergie interne au cours de l'évolution, le bilan d'énergie du
système ($\Sigma$) s'écrit
$$\Delta E+\Delta U=W+Q$$
iii) l'énergie interne $U$ est une fonction d'état : dans un état
d'équilibre thermodynamique, elle ne dépend que d'un petit nombre
de paramètres d'état caractérisant le système}


\subsection{Commentaires}
\noindent Pour un système fermé (on peut appliquer le premier
principe) et isolé ($W=0$ et $Q=0$)
$$\Delta E+\Delta U=0$$
La somme $E+U$ est une grandeur conservative\\
\\
Très souvent, $\Delta E$ est nulle ou négligeable
$$\Delta U=W+Q$$
Nous savons calculer $\Delta U$ entre deux états d'équilibre
thermodynamique (1er chapitre) et nous savons en général calculer
$W$; le premier principe permet donc de calculer $Q$
$$Q=\Delta U-W$$
La somme $W+Q$ égale à $\Delta U$ ne dépend pas du chemin suivi;
comme $W$ dépend en général du chemin suivi, $Q$ aussi; pour une
évolution infinitésimale
$$\boxed{dU=\delta W+\delta Q}$$
Il résulte immédiatement du premier principe qu'un travail ou un
transfert thermique positif contribue à augmenter l'énergie d'un
système fermé; dans ce cas $W$ ou $Q$ sont effectivement reçu par
le système, cédé par le système dans le cas négatif



\subsection{Un exemple de travail : le travail des forces de pression}
\subsubsection{Pression extérieure et pression dans le fluide}
\noindent Considérons un fluide contenu dans un cylindre d'axe
$Ox$ et de section $S$ fermé par un piston mobile\\
\\
La pression $p$ dans le fluide n'est définie qu'à l'équilibre
thermodynamique, en général uniquement dans l'état initial et dans
l'état final\\
\\
On peut en revanche en général considérer que l'atmosphère
extérieure reste en équilibre thermodynamique à la pression
constante et uniforme $p_0$; elle exerce donc sur le système (via
le piston de masse négligeable que l'on inclut dans le système, on
néglige aussi les frottements) une force $-p_0S\mathbf{e}_x$
$$\mathbf{F}=-p_{ext}S\mathbf{e}_x$$
avec $p_{ext}=p_0$ pression extérieure\\
\\
Lorsque le système est en équilibre thermodynamique la pression
dans le fluide est défini par la force qu'il exerce sur le piston
$$\mathbf{F}'=p\,S\mathbf{e}_x$$
l'équilibre mécanique du piston s'écrit alors
$$p=p_{ext}$$


\subsubsection{Travail des forces de pression au cours d'une
évolution élémentaire}%
\noindent Déplaçons le piston de $dx\mathbf{e}_x$\\
Le système reçoit (algébriquement) le travail $\delta
W=\mathbf{F}.dx\mathbf{e}_x=-p_{ext}Sdx$\\
Au cours du déplacement le volume du système varie de $dV$
$$\delta W=-p_{ext}dV$$
$\delta W>0$, $dV<0$ (compression) le travail est effectivement
reçu, les forces
subies par le fluide sont motrices \\
$\delta W<0$, $dV>0$ (détente) le travail est effectivement cédé,
les forces subies par le fluide sont résistantes\\
\\
Nous admettrons la généralisation de ce résultat à un récipient de
forme quelconque soumis à une pression extérieure sur ses parties
mobiles
$$\boxed{\delta W=-p_{ext}dV}$$


\subsubsection{Travail au cours d'une évolution non élémentaire}%
\noindent Considérons l'évolution d'un fluide entre un état
d'équilibre ($I$) et un état d'équilibre ($F$) soumis à une
pression extérieure $p_{ext}$ constante et uniforme\\
Cette évolution peut-être décomposée en évolutions élémentaires au
cours desquelles le volume varie de $dV$
$$\boxed{W=-\int_{V_I}^{V_F}p_{ext}dV}$$
Considérons une évolution suffisamment lente pour que tout état
intermédiaire soit infiniment proche d'un état d'équilibre
thermodynamique, la pression $p$ du fluide est alors définie; on
parle aussi d'\textbf{évolution quasi-statique}; nous dirons en
outre qu'elle est \textbf{mécaniquement réversible} si $p=p_{ext}$
(ce qui est évident dans le cas particulier du piston mobile
libre)
$$\boxed{p=p_{ext}\qquad W=-\int_{V_I}^{V_F}pdV}$$
La pression étant définie au cours de l'évolution, on peut
représenter $p$ en fonction de $V$ (\textbf{diagramme de Watt})
dans lequel l'aire sous la courbe donne $-W$ ou $p$ en fonction de
$v$ volume massique (\textbf{diagramme de Clapeyron})


\subsubsection{Quelques travaux classiques}
\noindent Lors d'une \textbf{évolution isochore}, $V=cte$
$$W=0$$
Lors d'une \textbf{évolution monobare}, pression extérieure
constante et uniforme
$$W=-p_{ext}(V_F-V_I)$$
Lors d'une évolution quasi-statique, mécaniquement réversible et
\textbf{isobare}, $p=cte$ (attention : $p=p_{ext}$ mais $p_{ext}$
pas forcément constante)
$$W=-p(V_F-V_I)$$
Lors d'une évolution quasi-statique et \textbf{isotherme} d'un GP,
$T=cte$
$$W=-nRT\ln\left(\dfrac{V_F}{V_I}\right)$$


\subsection{Exemple : la détente de Joule - Gay Lussac}
\noindent (voir TD)
$$\boxed{\Delta U=0}$$
$T_F=T_I$ pour un GP, diminution de température sinon




\section{Une nouvelle fonction d'état : l'enthalpie}
\subsection{Définition}
\noindent De nombreuses évolutions thermo ont lieu au contact de
l'atmosphère qui maintient une pression extérieure $p_{ext}$
constante; elles sont donc monobares $p_F=p_I=p_{ext}$
$$W=-p_{ext}(V_F-V_I)$$
le premier principe appliqué au système fermé
$$U_F-U_I=W+Q$$
ce qui permet de calculer $Q$
$$Q=U_F-U_I+p_{ext}(V_F-V_I)=(U_F+p_FV_F)-(U_I+p_IV_I)$$
$Q$ apparaît comme la variation d'une nouvelle fonction $H$
appelée \textbf{enthalpie}
$$\boxed{H=U+pV}$$
\cadre{Au cours d'une évolution monobare entre deux états
d'équilibre, le transfert thermique algébriquement reçu par un
système fermé est égal à la variation d'enthalpie du système
$$Q=\Delta H$$}
Ce résultat s'applique aussi a fortiori au cas d'une évolution
quasi-statique mécaniquement réversible et isobare\\
\\
Par construction, l'enthalpie $H$ ne dépend, comme $U$, que d'un
petit nombre de paramètres d'état; c'est une \textbf{fonction
d'état}

\subsection{Capacité thermique à pression constante}
\noindent Expérimentalement, on accède plus facilement aux
dérivées partielles $\left(\dfrac{\partial H}{\partial
T}\right)_p$ et $\left(\dfrac{\partial H}{\partial p}\right)_T$ de
l'enthalpie, plutôt qu'à l'enthalpie elle-même\\
\\
Nous utiliserons surtout la \textbf{capacité thermique à pression
constante}
$$\boxed{C_p=\left(\dfrac{\partial H}{\partial
T}\right)_p}$$%
on utilise aussi la \textbf{capacité thermique massique}  à
pression constante $c_p=\dfrac{C_p}{m}$ et la \textbf{capacité
thermique molaire}  à pression constante $C_{pm}=\dfrac{C_p}{n}$

\subsection{Enthalpie et capacité thermique de quelques fluides
modèles}
\subsubsection{GPM}
$$H=U+pV=\dfrac{3}{2}nRT+nRT=\dfrac{5}{2}nRT$$
$$C_V=\dfrac{3}{2}nR\qquad C_p=\dfrac{5}{2}nR$$

\subsubsection{Gaz parfait}
$$H=U+pV=U+nRT$$
\cadre{L'enthalpie $H$ d'un gaz parfait ne dépend que de la
température} On dit d'un fluide possédant cette propriété qu'il
vérifie la deuxième loi de Joule\\
\\
on en déduit la \textbf{relation de Mayer}
$$\boxed{C_p-C_V=nR}$$
et en faisant apparaître le coefficient $\gamma=\dfrac{C_p}{C_V}$
$$\boxed{C_p=\dfrac{nR\gamma}{\gamma-1}\qquad C_V=\dfrac{nR}{\gamma-1}}$$
Par exemple pour un gaz parfait diatomique dans les conditions
usuelles de température
$$C_V\simeq\dfrac{5}{2}nR\qquad C_p\simeq\dfrac{7}{2}nR\qquad
\gamma\simeq\dfrac{7}{5}=1,4$$%
ces valeurs sont souvent utilisées pour l'air


\subsubsection{Fluides réels}
\noindent Aucun résultat général pour les gaz réels

\subsubsection{Phases condensées} %
\noindent Pour ce qui est des phases condensées (solides ou
liquides) leur volume est suffisamment faible pour qu'on puisse
souvent en première approximation négliger $pV$ devant $U$
$$H\simeq U\qquad C_p\simeq C_V\simeq C$$

\subsection{Calorimétrie}
\noindent (voir TD)
\subsection{Exemple : la détente de Joule-Kelvin}
\noindent (voir TD) La détente de Joule-Kelvin est isenthalpique
$$\boxed{\Delta H=0}$$


\label{dernierepage}


\end{document}