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\lhead{MPSI - Thermodynamique - \'Eléments de statique des fluides dans le champ de pesanteur}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : février 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcounter{num}

\newcommand{\exo}[2]
{\addtocounter{num}{1}%
 \vspace{5mm}%
 \noindent\textbf{Exercice \thenum. #1.}\\%
 #2}


\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}


\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}



\begin{document}



\part*{\'Eléments de statique des fluides dans le champ de pesanteur}

\tableofcontents%


\vspace{1cm} %
\noindent On suppose dans le chapitre précédent que le système
thermodynamique n'est soumis à aucune force extérieure\\
\\
Dans ce chapitre on étudie les propriétés d'un fluide au repos
dans un référentiel galiléen en tenant compte du champ de pesanteur\\

\section{Forces de pression dans un fluide au repos}
\subsection{Quelques définitions}
\noindent Un \textbf{fluide} est un ensemble d'entités
microscopiques (atomes, molécules...) occupant un volume dont la
forme géométrique s'adapte aux parois du récipient; en pratique
liquide
ou gaz\\
\\
On découpe à l'instant $t$ le fluide en éléments de volume
$d\tau(M)$ petit à l'échelle macro et suffisamment grand à
l'échelle micro pour pouvoir définir des grandeurs moyennées sur
$d\tau(M)$ = \textbf{particule de fluide}\\
\\
L'\textbf{approximation des milieux continus} consiste alors à
définir des champs macro en faisant des moyennes sur les éléments
de volume $d\tau(M)$\\
\\
par exemple, le champ de masse volumique
$$\rho(M)=\dfrac{dm}{d\tau}$$
où $dm=\sum m_i$ est la masse totale des molécules contenues dans
$d\tau(M)$\\
\\
le champ des vitesses
$$\mathbf{v}(M)=\dfrac{\sum\mathbf{v}_i}{dN}=<\mathbf{v}_i>$$
où $dN$ est le nombre de molécules contenues dans $d\tau(M)$\\
\\
Dans toute la suite, on se limitera au cas d'un fluide au repos
$$\mathbf{v}(M)=O$$

\subsection{Forces volumiques et forces surfaciques}
\noindent Parmi les actions extérieures subies par une partie
quelconque d'un fluide, il faut distinguer :\\
\\
(i) les forces volumiques qui décrivent des interactions à longue
portée; la force $d\mathbf{F}_v$ subie par une particule de fluide
est proportionnelle à $d\tau$ ce qui permet de définir une densité
volumique de force
$$\mathbf{f}_v=\dfrac{d\mathbf{F}_v}{d\tau}$$
par exemple dans le champ de pesanteur
$d\mathbf{F}_v=dm\mathbf{g}=\rho\mathbf{g}d\tau$\\
\\
(ii) les forces surfaciques qui décrivent des interactions à
courte portée (forces de contact et chocs); nous admettrons comme
un résultat de l'expérience, que dans un fluide au repos
$$d\mathbf{F}_s=-p(M)dS\mathbf{n}$$
où $\mathbf{n}$ est sortant; ces forces existent aussi à
l'intérieur mais elles se compensent !


\subsection{\'Equivalent volumique des forces de pression}
\noindent Soit une particule de fluide de volume $=dx\,dy\,dz$ soumise à la pesanteur; la pression variant uniquement suivant $z$ (expérience)
$$d\mathbf{F}=-p(z)dxdy(-\mathbf{e}_z)-p(z+dz)dxdy(+\mathbf{e}_z)=-\left(\dfrac{dp}{dz}\right)\mathbf{e}_zd\tau$$
comme si la particule de fluide était soumise à une force
volumique de densité volumique
$$\boxed{\mathbf{f}_v=-\left(\dfrac{dp}{dz}\right)\mathbf{e}_z}$$\\
\\
Dans le cas général où la pression peut dépendre des trois
coordonnées, on démontre
$$\boxed{\mathbf{f}_v=-\mathbf{grad}p}$$


\subsection{Principe fondamental de la statique des fluides}
\noindent Pour que le fluide soit au repos dans le champ de
pesanteur, il faut que le poids de chaque particule fluide soit
compensé par les forces de pression exercées sur la particule de
fluide (équilibre mécanique pour chaque particule fluide)
$$d\mathbf{F}_v+d\mathbf{F}_s=0$$
$$\rho\mathbf{g}d\tau-\left(\dfrac{dp}{dz}\right)\mathbf{e}_zd\tau=0$$
$$\boxed{\dfrac{dp}{dz}=-\rho g}$$
si l'axe $z$ est orienté suivant la verticale ascendante
$$\boxed{\dfrac{dp}{dz}=+\rho g}$$
si l'axe $z$ est orienté suivant la verticale descendante


\section{\'Etude de l'atmosphère isotherme}
\subsection{Mise en place du modèle}
\noindent Nous supposons avant tout l'existence d'un
\textbf{équilibre thermodynamique local} : en un point $A$
quelconque de côte $z$, une particule de fluide de volume
$d\tau(A)$ constitue un système thermodynamique au sens du
chapitre précédent, on peut notamment définir sa pression $p(A)$,
sa température $T(A)$ et sa masse
volumique $\rho(A)$\\
\\
Nous assimilons l'atmosphère à un GP de masse molaire $M$ ce qui est raisonnable car la densité moléculaire y est suffisamment faible. On peut
alors écrire l'\textbf{équation d'état locale}
$$p(A)\,d\tau(A)=dnRT(A)=\dfrac{\rho(A)d\tau(A)RT(A)}{M}$$
puisque $dn=\dfrac{dm}{M}$

\subsection{Calcul du champ de pression}
\noindent (voir TD)
$$\boxed{p(z)=p_0\exp\left(-\dfrac{Mgz}{RT}\right)}$$


\subsection{Ordres de grandeur et conséquences}
\noindent Avec $M=29\,g.mol^{-1}$, $R=8,314\,J.K^{-1}.mol^{-1}$,
$T=273\,K$, $g=9,8\,m.s^{-2}$ et $p_0=1\,bar$ on trouve pour
$z=100\,m$ $p=0,988\,bar$\\
\\
La variation relative de pression n'est donc que de 1,2\% lors
d'un déplacement vertical de 100 mètres%
\cadre{Dans un gaz peu dense occupant un volume raisonnable,
l'influence de la pesanteur sur le champ de pression est
négligeable}%
Ce qui justifie l'approximation faite dans le premier chapitre,
approximation que nous ferons dans les chapitres suivants\\
\\
L'atmosphère terrestre, qui s'étend sur plusieurs dizaines de
kilomètres, apparaît en revanche comme un système suffisamment
étendu pour que l'influence de la pesanteur s'y fasse sentir.
Néanmoins, le modèle de l'atmosphère isotherme ne s'applique qu'à
la haute atmosphère, pour des couches d'air dont l'altitude est
comprise entre 11 et $30\,km$ avec une température de l'ordre de
$223\,K$. En effet, l'uniformité de la température suppose un
brassage suffisant des couches atmosphériques ce qui n'est pas le
cas à basse altitude où le modèle du gradient de température est
mieux adapté



\subsection{Interprétation statistique : facteur de Boltzmann}
\noindent voir TD
$$\boxed{n^*=C\exp\left(-\dfrac{mgz}{k_BT}\right)}$$
Si nous découpons l'atmosphère en couches successives de côte $z$
correspondant chacune à un niveau d'énergie $\epsilon=mgz$, le
résultat précédent montre que les molécules se répartissent sur
les différents niveaux d'énergie possibles proportionnellement à
un facteur statistique $\exp\left(-\dfrac{mgz}{k_BT}\right)$
appelé facteur de Boltzmann\\
\\
Nous admettrons que ce résultat se généralise : \cadre{Lorsqu'un
système thermodynamique en équilibre à la température $T$ est
constitué de molécules dont l'énergie individuelle $\epsilon$ peut
prendre différentes valeurs, les molécules se répartissent sur les
différents niveaux énergétiques proportionnellement au facteur
$\exp\left(-\dfrac{\epsilon}{k_BT}\right)$}%
Les niveaux les plus peuplés sont donc les niveaux de plus basse
énergie




\section{Statique des fluides incompressibles}
\subsection{Intégrale première spatiale}
\noindent Les liquides étant beaucoup plus denses que les gaz, il
n'est en général pas possible de négliger les effets de la
pesanteur sur le champ de pression; en revanche on peut considérer
qu'ils sont incompressibles et indilatables (ou $T$ uniforme)
$$\rho(p,T)=\rho=cte$$
en pratique, on parlera de fluide incompressible et homogène\\
\\
le principe fondamental de la statique des fluide donne alors
$$\boxed{p+\rho gz=cte}$$
attention à l'orientation des axes\\
cette relation s'applique en tout point d'un même volume de fluide; pour des volumes disjoints la constante diffère

\subsection{Applications}
\noindent voir TD
\subsubsection{Principe des vases communicants}
\cadre{La surface libre d'un fluide est contenue dans un plan
horizontal}

\subsubsection{Interface entre deux fluides}
\cadre{L'interface entre deux fluides de densités différentes est
contenue dans un plan horizontal}

\subsubsection{Variation de la pression avec l'altitude}
$$p_2-p_1=\rho g(z_1-z_2)$$

\subsubsection{Théorème de Pascal}
\cadre{Toute variation de pression en un point d'un fluide
incompressible est intégralement transmise en tout point du
fluide}



\section{Poussée d'Archimède}
\cadre{Les forces de pression exercées par un fluide au repos sur un corps placé en son sein ont une résultante applée poussée d'Archimède
opposée au poids du « fluide déplacé »; la poussée est appliquée au centre d'inertie C du « fluide déplacé » appelé centre de poussée}

\label{dernierepage}
\end{document}
